WikiSort.ru - Не сортированное

Связанные определения

Всякое комплексное число ${\displaystyle z=a+bi}$ состоит из двух компонентов^[5]:

• Величина ${\displaystyle a}$ называется вещественной частью числа ${\displaystyle z}$ и в русскоязычной традиции обозначается ${\displaystyle \operatorname {Re} \,z}$ или ${\displaystyle \operatorname {Re} (z).}$ Также встречается готический символ^[6]: ${\displaystyle \Re (z).}$
  • Если ${\displaystyle a=0}$ , то ${\displaystyle z}$ называется мнимым или чисто мнимым числом. Вместо ${\displaystyle 0+bi}$ обычно пишут просто ${\displaystyle bi.}$
• Величина ${\displaystyle b}$ называется мнимой частью числа ${\displaystyle z}$ и в русскоязычной традиции обозначается ${\displaystyle \operatorname {Im} \,z}$ или ${\displaystyle \operatorname {Im} (z).}$ Также встречается готический символ^[7]: ${\displaystyle \Im (z).}$
  • Если ${\displaystyle b=0}$ , то ${\displaystyle z}$ является вещественным числом. Вместо ${\displaystyle a+0i}$ обычно пишут просто ${\displaystyle a.}$ Например, комплексный нуль ${\displaystyle 0+0i}$ обозначается просто как ${\displaystyle 0.}$

Противоположным для комплексного числа ${\displaystyle z=a+bi}$ является число ${\displaystyle -z=-a-bi.}$ Например, для числа ${\displaystyle 1-2i}$ противоположным будет число ${\displaystyle -1+2i.}$

Четыре арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. В отличие от последних, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (например, чтобы из ${\displaystyle a<b}$ вытекало ${\displaystyle a+c<b+c}$ ). Однако комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно)^[5]:

• ${\displaystyle a+bi=c+di}$ означает, что ${\displaystyle a=c}$ и ${\displaystyle b=d}$ (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).

Сложение и вычитание

Определение сложения и вычитания комплексных чисел^[5]:

${\displaystyle \left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i,}$

${\displaystyle \left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i.}$

Следующая таблица^[5] показывает основные свойства сложения для любых комплексных ${\displaystyle u,v,w.}$

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	${\displaystyle u+v=v+u}$
Ассоциативность (сочетательность)	${\displaystyle u+(v+w)=(u+v)+w}$
Свойство нуля	${\displaystyle u+0=u}$
Свойство противоположного элемента	${\displaystyle u+(-u)=0}$
Выполнение вычитания через сложение	${\displaystyle u-v=u+(-v)}$

Умножение

Определим произведение^[5] комплексных чисел ${\displaystyle a+bi}$ и ${\displaystyle c+di}$ :

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac+bdi^{2})+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i}$ .

Следующая таблица^[5] показывает основные свойства умножения для любых комплексных ${\displaystyle u,v,w}$ .

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	${\displaystyle u\cdot v=v\cdot u}$
Ассоциативность (сочетательность)	${\displaystyle u\cdot (v\cdot w)=(u\cdot v)\cdot w}$
Свойство единицы	${\displaystyle u\cdot 1=u}$
Свойство нуля	${\displaystyle u\cdot 0=0}$
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения	${\displaystyle u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w}$

Правила для степеней мнимой единицы:

${\displaystyle i^{2}=-1;\;i^{3}=-i;\;i^{4}=1;i^{5}=i}$ и т. д.

Деление

Комплексное число ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ называется сопряжённым к комплексному числу ${\displaystyle z=x+iy}$ (см. подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа ${\displaystyle a+bi}$ , кроме нуля, можно найти обратное к нему^[8] комплексное число ${\displaystyle {\frac {1}{a+bi}}}$ . Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число ${\displaystyle a-bi}$ , комплексно сопряжённое знаменателю

${\displaystyle {\frac {1}{a+bi}}={\frac {a-bi}{(a+bi)(a-bi)}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}$

Определим результат деления^[5] комплексного числа ${\displaystyle a+bi}$ на ненулевое число ${\displaystyle c+di}$ :

${\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i.}$

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше. Другое отличие: любой многочлен с вещественными или комплексными коэффициентами имеет, с учётом кратности, столько корней (вообще говоря, комплексных), какова его степень (основная теорема алгебры)^[9].

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень ${\displaystyle n}$ -й степени из ненулевого числа имеет ${\displaystyle n}$ различных комплексных значений^[10]. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного^[⇨]..

Замечания о выражении √−1

Заметим, что число ${\displaystyle i}$ не является единственным числом, квадрат которого равен ${\displaystyle -1}$ . Число ${\displaystyle -i}$ также обладает этим свойством.

Следует также заметить, что выражение ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ , ранее часто использовавшееся вместо ${\displaystyle i}$ , не вполне корректно, так как арифметический корень определяется только для неотрицательных чисел. Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как ${\displaystyle 5+i{\sqrt {3}}}$ , а не ${\displaystyle 5+{\sqrt {-3}}}$ , несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым^[11].

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

${\displaystyle {\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {\left(-3\right)\cdot \left(-3\right)}}={\sqrt {\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {9}}=3}$ .

При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

${\displaystyle \left(i{\sqrt {3}}\right)\cdot \left(i{\sqrt {3}}\right)=\left(i\cdot {\sqrt {3}}\right)^{2}=i^{2}\cdot \left({\sqrt {3}}\right)^{2}=-3.}$

Комплексная плоскость

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу ${\displaystyle z=x+iy}$ соответствует точка плоскости с координатами ${\displaystyle \left\{x,y\right\}}$ (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями^[12].

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние ${\displaystyle r}$ до начала координат (модуль^[⇨]) и угол ${\displaystyle \varphi }$ радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент^[⇨]).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа^[13]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»^[14].

Пример: умножение на ${\displaystyle i}$ поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на ${\displaystyle -i}$ радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модуль

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа ${\displaystyle z=x+iy}$ обозначается ${\displaystyle \left|z\right|}$ (иногда ${\displaystyle r}$ или ${\displaystyle \rho }$ ) и определяется выражением^[13]

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ .

Если ${\displaystyle z}$ является вещественным числом, то ${\displaystyle \left|z\right|}$ совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых ${\displaystyle z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$ имеют место следующие свойства модуля^[13][15]:

1) ${\displaystyle \left|z\right|\geqslant 0}$ , причём ${\displaystyle \left|z\right|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle z=0}$ ;

2) ${\displaystyle \left|z_{1}+z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|}$ (неравенство треугольника);

3) ${\displaystyle \left|z_{1}\cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\cdot \left|z_{2}\right|}$ ;

4) ${\displaystyle \left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}}$ .

5) Для пары комплексных чисел ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$ модуль их разности ${\displaystyle \left|z_{1}-z_{2}\right|}$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

6) Модуль числа ${\displaystyle z}$ связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

${\displaystyle -|z|\leqslant \operatorname {Re} (z)\leqslant |z|;\quad -|z|\leqslant \operatorname {Im} (z)\leqslant |z|;\quad |z|\leqslant |\operatorname {Re} (z)|+|\operatorname {Im} (z)|}$

Аргумент

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа ${\displaystyle z}$ измеряется в радианах и обозначается ${\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z\right)}$ . Из этого определения следует, что^[13]

${\displaystyle \operatorname {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x}};\quad \cos \varphi ={\frac {x}{\left|z\right|}};\quad \sin \varphi ={\frac {y}{\left|z\right|}}}$ .

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа ${\displaystyle z}$ аргумент определяется с точностью до ${\displaystyle 2\pi k}$ , где ${\displaystyle k}$  — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение ${\displaystyle \varphi }$ , что ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }$ . Главное значение может обозначаться ${\displaystyle \operatorname {arg} \left(z\right)}$ ^[16].

Некоторые свойства аргумента^[15]:

1) Аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

${\displaystyle \operatorname {Arg} \left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {Arg} \left(z\right).}$

2) Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

${\displaystyle \operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}).}$

3) Аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

${\displaystyle \operatorname {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}).}$

Сопряжённые числа

Если комплексное число ${\displaystyle z=x+iy}$ , то число ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к ${\displaystyle z}$ (обозначается также ${\displaystyle z^{*}}$ ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком^[17]:

• ${\displaystyle \left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|;\quad \operatorname {Arg} ({\bar {z}})=-\operatorname {Arg} (z)}$

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; она имеет следующие свойства^[17]:

• ${\displaystyle z={\bar {z}}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle z}$  — вещественное число.
• ${\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}$ (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z^[15]:

• ${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2}}$

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число^[15]:

• ${\displaystyle z+{\bar {z}}=2\operatorname {Re} \left(z\right)=2x}$

Другие соотношения^[15]:

• ${\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2}}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}};\quad \operatorname {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.}$

Обобщение: ${\displaystyle {\overline {p\left(z\right)}}=p\left({\bar {z}}\right)}$ , где ${\displaystyle p\left(z\right)}$  — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число ${\displaystyle z}$ является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число ${\displaystyle {\overline {z}}}$ тоже является его корнем. Из этого следует, что комплексные корни такого многочлена, не являющиеся вещественными числами (имеющие ненулевую мнимую часть), разбиваются на пары комплексно-сопряжённых^[15].

Алгебраическая форма

Выше использовалась запись комплексного числа ${\displaystyle z}$ в виде ${\displaystyle x+iy}$ ; такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая форма

Если вещественную ${\displaystyle x}$ и мнимую ${\displaystyle y}$ части комплексного числа выразить через модуль ${\displaystyle r=\left|z\right|}$ и аргумент ${\displaystyle \varphi }$ (то есть ${\displaystyle x=r\cos \varphi }$ , ${\displaystyle y=r\sin \varphi }$ ), то всякое комплексное число ${\displaystyle z}$ , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме^[13]:

${\displaystyle z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}$

Как уже сказано выше, для нуля аргумент ${\displaystyle \varphi }$ не определён; для ненулевого числа ${\displaystyle \varphi }$ определяется с точностью до целого кратного ${\displaystyle 2\pi }$ .

Показательная форма

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера^[18]:

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$

где ${\displaystyle e}$  — число Эйлера, ${\displaystyle \cos }$ , ${\displaystyle \sin }$  — функции косинуса и синуса, ${\displaystyle e^{i\varphi }}$  — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа^[18]:

${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$

Следствия

(1) Модуль выражения ${\displaystyle e^{i\varphi },}$ где ${\displaystyle \varphi }$ вещественно, равен 1.

(2) ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}};\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}}$ — при комплексном ${\displaystyle \varphi }$ эти равенства могут служить определением косинуса и синуса.

Пример^[19]. Представим в тригонометрической и показательной форме число ${\displaystyle z=-1-{\sqrt {3}}i:}$

${\displaystyle |z|={\sqrt {(-1)^{2}+(-{\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {1+3}}=2}$ ;

${\displaystyle \varphi =-\pi +\operatorname {arctg} {\Bigl (}{\frac {-{\sqrt {3}}}{-1}}{\Bigr )}=-\pi +\operatorname {arctg} ({\sqrt {3}})=-{\frac {2\pi }{3}}}$ (поскольку ${\displaystyle z}$ находится в III координатной четверти).

Отсюда:

${\displaystyle z=2\left(\cos {\frac {-2\pi }{3}}+i\sin {\frac {-2\pi }{3}}\right)=2e^{i{\frac {-2\pi }{3}}}}$

Аналитические функции

Комплексная функция одной переменной — это функция ${\displaystyle w=f(z)}$ , которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам ${\displaystyle z}$ этой области комплексные значения ${\displaystyle w}$ ^[28]. Примеры:

${\displaystyle w=z^{2}+z+1;\quad w=z+{\frac {1}{z}}}$

Каждая комплексная функция ${\displaystyle w=f(z)=f(x+iy)}$ может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: ${\displaystyle f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)}$ , определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции ${\displaystyle u}$ , ${\displaystyle v}$ называются компонентами комплексной функции ${\displaystyle f(z).}$ Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных^[28].

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль ${\displaystyle |w|=|f(z)|,}$ то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции^[29].

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала^[28], например:

${\displaystyle \sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}}$

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль^[28].

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными^[30].

• Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки ${\displaystyle z}$ комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути^[31].

Преобразования комплексной плоскости

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

• ${\displaystyle w=z+c}$  — параллельный перенос, определяемый радиус-вектором точки ${\displaystyle c.}$
• ${\displaystyle w=uz}$ , где ${\displaystyle u}$  — комплексное число с единичным модулем — поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу ${\displaystyle u.}$
• ${\displaystyle w={\bar {z}}}$  — зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции ${\displaystyle w=uz+c}$ и ${\displaystyle w=u{\bar {z}}+c}$ дают общее выражение для движения на комплексной плоскости^[32].

Другие линейные преобразования^[32]:

• ${\displaystyle w=rz}$ , где ${\displaystyle r}$  — положительное вещественное число, задаёт растяжение, масштаб которого зависит от ${\displaystyle r}$ (сжатие, если ${\displaystyle r<1}$ ).
• Преобразования ${\displaystyle w=az+b}$ и ${\displaystyle w=a{\bar {z}}+b}$ , где ${\displaystyle a,b}$  — произвольные комплексные числа, задают преобразование подобия.
• Преобразование ${\displaystyle w=az+b{\bar {z}}+c,}$ где ${\displaystyle |a|\neq |b|}$  — общий вид аффинного преобразования комплексной плоскости.

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования^[33]:

${\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}$

При этом ${\displaystyle ad\neq bc}$ (иначе функция ${\displaystyle w(z)}$ вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые. При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот^[33].

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия ${\displaystyle w=1/{\bar {z}},}$ функция Жуковского.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например^[34]:

• Три (различные) точки ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

${\displaystyle {\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}}$ является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение ${\displaystyle {\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}}$ является вещественным числом.

• Если даны три вершины параллелограмма: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},}$ то четвёртая определяется равенством^[35]: ${\displaystyle z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.}$

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид^[36]:

${\displaystyle z=ut+v,}$ где ${\displaystyle u,v}$  — комплексные числа, ${\displaystyle u\neq 0,t}$  — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми ${\displaystyle z=ut+v}$ и ${\displaystyle z=u't+v'}$ равен ${\displaystyle \operatorname {arg} (u'/u).}$ В частности, прямые перпендикулярны, когда ${\displaystyle u'/u}$  — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle u'/u}$ есть вещественное число; если при этом ${\displaystyle (v'-v)/u}$ также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая ${\displaystyle z=ut+v}$ рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение ${\displaystyle t=\operatorname {Im} {\frac {z-v}{u}}}$ положительно, на другой — отрицательно^[36].

Уравнение окружности с центром ${\displaystyle c}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ имеет чрезвычайно простой вид: ${\displaystyle |z-c|=r.}$ Неравенство ${\displaystyle |z-c|<r}$ описывает внутренность окружности^[36]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности^[37]: ${\displaystyle z=c+e^{i\varphi }.}$

Математика

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение^[42][43].

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида ${\displaystyle a+bi,}$ где ${\displaystyle a,b}$  — целые числа^[44]. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана^[45].

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots }$

Этот ряд сходится только в интервале ${\displaystyle (-1;\;1)}$ , хотя точки ${\displaystyle \pm 1}$ не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$ , у которой обнаруживаются две особые точки: ${\displaystyle \pm i}$ . Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге единичного радиуса^[46].

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент^[47]. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений^[48]. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам^[49]..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа^[50].

Конформное отображение

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)^[51]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии^[52][53] и гидродинамике^[54].

Квантовая механика

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции, Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты ${\displaystyle {\hat {x}}}$ и импульса ${\displaystyle {\hat {p}}_{x}}$ представляет собой мнимое число^[55]:

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {p}}_{x}{\hat {x}}=i\hbar }$

Здесь ${\displaystyle \hbar }$  — редуцированная постоянная Планка ${\displaystyle h}$ , то есть ${\displaystyle h/2\pi }$ (постоянная Дирака).

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения^[55].

Электротехника

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса или комплексного сопротивления для реактивных элементов электрической цепи таких как ёмкость и индуктивность — это помогает рассчитать токи в цепи^[56]. Ввиду того, что традиционно символ ${\displaystyle i}$ в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой ${\displaystyle j}$ ^[57]. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из ${\displaystyle (t,x)}$ - в ${\displaystyle (\omega ,k)}$ -пространство (где ${\displaystyle t}$  — время, ${\displaystyle \omega }$  — угловая частота) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных^[58].

Аксиоматика комплексных чисел

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Именно, определим ${\displaystyle \mathbb {C} }$ как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и квадратный корень из −1 (мнимую единицу). Более строго, аксиомы комплексных чисел следующие^[59][60].

С1: Для всяких комплексных чисел ${\displaystyle u,v}$ определена их сумма ${\displaystyle u+v}$ .

С2: Сложение коммутативно: ${\displaystyle u+v=v+u}$ . Для краткости оговорку «для всяких ${\displaystyle u,v,w}$ » далее, как правило, опускаем.

С3: Сложение ассоциативно: ${\displaystyle (u+v)+w=u+(v+w).}$

С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что ${\displaystyle u+0=u}$ .

С5: Для всякого комплексного числа ${\displaystyle u}$ существует «противоположный ему» элемент ${\displaystyle -u}$ такой, что ${\displaystyle u+(-u)=0.}$

С6: Для всяких комплексных чисел ${\displaystyle u,v}$ определено их произведение ${\displaystyle uv}$ .

С7: Умножение коммутативно: ${\displaystyle uv=vu.}$

С8: Умножение ассоциативно: ${\displaystyle (uv)w=u(vw).}$

С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом: ${\displaystyle (u+v)w=uw+vw.}$

С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что ${\displaystyle u\cdot 1=u}$ .

С11: Для всякого ненулевого числа ${\displaystyle u}$ существует «обратное ему» число ${\displaystyle u'}$ такое, что ${\displaystyle u\cdot u'=1.}$

С12: Множество комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

С13: Существует элемент ${\displaystyle i}$ (мнимая единица) такой, что ${\displaystyle i^{2}+1=0.}$

С14 (аксиома минимальности): Пусть ${\displaystyle M}$  — подмножество ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , удовлетворяющее следующим условиям: оно содержит ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда ${\displaystyle M}$ совпадает со всем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что ${\displaystyle \mathbb {C} }$ образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны^[61].

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств^[62].

Непротиворечивость и модели

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел^[63].

Алгебраическая характеризация

Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ). Кроме того, любой базис трансцендентности ${\displaystyle \mathbb {C} }$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ имеет мощность континуум^{[K 3]}. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей^{[68][69][K 4]}.

При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{p}}$ поля ${\displaystyle p}$ -адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако ${\displaystyle p}$ -адическая норма не является архимедовой^[en] и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма^[70]. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в ${\displaystyle p}$ -адическом^[70].