Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complex — совокупный, тесно связанный[1]; о двойном ударении см. примечание[K 1]) — числа вида , где — вещественные числа, — мнимая единица[2], то есть число, для которого выполняется равенство: Множество комплексных чисел обычно обозначается символом Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид . Главное свойство — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен -й степени ( ) имеет корней. Доказано , что система комплексных чисел логически непротиворечива[K 2].
Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания , умножения и деления . Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше . Удобно представлять комплексные числа точками на комплексной плоскости ; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси . Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней . Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе .
Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики, как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение для мнимой единицы, Декарт, Гаусс . Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году[1].
Свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других[4] . Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.
Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы .
Всякое комплексное число состоит из двух компонентов[5]:
Противоположным для комплексного числа является число Например, для числа противоположным будет число
Четыре арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. В отличие от последних, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (например, чтобы из вытекало ). Однако комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно)[5]:
Определение сложения и вычитания комплексных чисел[5]:
Следующая таблица[5] показывает основные свойства сложения для любых комплексных
Свойство | Алгебраическая запись |
---|---|
Коммутативность (переместительность) | |
Ассоциативность (сочетательность) | |
Свойство нуля | |
Свойство противоположного элемента | |
Выполнение вычитания через сложение |
Определим произведение[5] комплексных чисел и :
Следующая таблица[5] показывает основные свойства умножения для любых комплексных .
Свойство | Алгебраическая запись |
---|---|
Коммутативность (переместительность) | |
Ассоциативность (сочетательность) | |
Свойство единицы | |
Свойство нуля | |
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения |
Правила для степеней мнимой единицы:
Комплексное число называется сопряжённым к комплексному числу (см. подробнее ниже).
Для каждого комплексного числа , кроме нуля, можно найти обратное к нему[8] комплексное число . Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число , комплексно сопряжённое знаменателю
Определим результат деления[5] комплексного числа на ненулевое число :
Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.
Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.
Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше. Другое отличие: любой многочлен с вещественными или комплексными коэффициентами имеет, с учётом кратности, столько корней (вообще говоря, комплексных), какова его степень (основная теорема алгебры)[9].
В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень -й степени из ненулевого числа имеет различных комплексных значений[10]. См., например, корни из единицы.
Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного
..Заметим, что число не является единственным числом, квадрат которого равен . Число также обладает этим свойством.
Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо , не вполне корректно, так как арифметический корень определяется только для неотрицательных чисел. Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как , а не , несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым[11].
Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:
При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:
Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу соответствует точка плоскости с координатами (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями[12].
Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль ) и угол радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент ).
В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа[13]. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»[14].
Пример: умножение на поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа обозначается (иногда или ) и определяется выражением[13]
Если является вещественным числом, то совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.
Для любых имеют место следующие свойства модуля[13][15]:
Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа измеряется в радианах и обозначается . Из этого определения следует, что[13]
Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до , где — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение , что . Главное значение может обозначаться [16].
Некоторые свойства аргумента[15]:
Если комплексное число , то число называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к (обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком[17]:
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; она имеет следующие свойства[17]:
Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z[15]:
Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число[15]:
Другие соотношения[15]:
Обобщение: , где — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число тоже является его корнем. Из этого следует, что комплексные корни такого многочлена, не являющиеся вещественными числами (имеющие ненулевую мнимую часть), разбиваются на пары комплексно-сопряжённых[15].
Тот факт, что произведение есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение[18], например:
Выше использовалась запись комплексного числа в виде ; такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.
Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (то есть , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме[13]:
Как уже сказано выше, для нуля аргумент не определён; для ненулевого числа определяется с точностью до целого кратного .
Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера[18]:
где — число Эйлера, , — функции косинуса и синуса, — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай комплексного показателя степени.
Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа[18]:
Следствия
Пример[19]. Представим в тригонометрической и показательной форме число
Отсюда:
Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид[10]:
где — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом , не обязательно положительном.
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней -й степени из ненулевого комплексного числа[18]:
Это значит, что корни -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).
Для извлечения квадратного корня из комплексного числа, записанного в стандартном формате можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться вышеприведённой формулой для Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня: где[20]:
Здесь — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением в квадрат.
Пример: для квадратного корня из формулы дают два значения:
Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение — 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: и . В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»[21].
Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение имеет вещественный корень , однако по формулам Кардано получаем: . Бомбелли обнаружил, что , так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел[22][21].
Выражения, представимые в виде , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к комплексным числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты[21].
Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)[23].
Символ для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт)[24]. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799)[22]. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения)[25].
Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс[26]. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного.[2][27].
С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения[2].
Комплексная функция одной переменной — это функция , которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам этой области комплексные значения [28]. Примеры:
Каждая комплексная функция может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: , определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции , называются компонентами комплексной функции Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных[28].
Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции[29].
Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала[28], например:
Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль[28].
Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными[30].
Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути[31].
Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:
Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции и дают общее выражение для движения на комплексной плоскости[32].
Другие линейные преобразования[32]:
Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования[33]:
При этом (иначе функция вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые. При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот[33].
Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия функция Жуковского.
Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например[34]:
Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид[36]:
Угол между двумя прямыми и равен В частности, прямые перпендикулярны, когда — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда есть вещественное число; если при этом также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение положительно, на другой — отрицательно[36].
Уравнение окружности с центром и радиусом имеет чрезвычайно простой вид: Неравенство описывает внутренность окружности[36]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности[37]:
Множество комплексных чисел образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел Основное алгебраическое свойство — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что есть алгебраическое замыкание[38] поля
Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями — поле комплексных чисел и тело кватернионов[39].
Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.
Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем
Поле допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте[40].
Поля и — единственные связные локально компактные топологические поля[41].
Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.
Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.
Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение[42][43].
Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида где — целые числа[44]. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана[45].
Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд
Этот ряд сходится только в интервале , хотя точки не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного , у которой обнаруживаются две особые точки: . Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге единичного радиуса[46].
При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент[47]. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений[48]. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам[49]..
Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа[50].
Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)[51]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии[52][53] и гидродинамике[54].
Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции, Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты и импульса представляет собой мнимое число[55]:
Здесь — редуцированная постоянная Планка , то есть (постоянная Дирака).
Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения[55].
Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса или комплексного сопротивления для реактивных элементов электрической цепи таких как ёмкость и индуктивность — это помогает рассчитать токи в цепи[56]. Ввиду того, что традиционно символ в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой [57]. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из - в -пространство (где — время, — угловая частота) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных[58].
Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям. Для анализа подобных вопросов надо сформировать набор аксиом для комплексных чисел.
Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел , если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел . Именно, определим как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и квадратный корень из −1 (мнимую единицу). Более строго, аксиомы комплексных чисел следующие[59][60].
Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны[61].
Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств[62].
Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел[63].
Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара будет соответствовать комплексному числу [64]
Далее определим[63]:
Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения :
Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами , образующими подполе , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары и соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.
Мнимая единица — это пара . Квадрат её равен , то есть Любое комплексное число можно записать в виде
Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой[63].
Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида
с обычным матричным сложением и умножением[2]. Вещественной единице будет соответствовать
мнимой единице —
Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число является линейным оператором. В базисе линейный оператор A умножения на представляется указанной выше матрицей, так как[2]:
Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа. А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число[65].
Рассмотрим кольцо многочленов с вещественными коэффициентами и построим его фактор-кольцо по модулю многочлена (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен они дают одинаковые остатки. Например, многочлен будет эквивалентен константе , многочлен будет эквивалентен и т. д.[66]
Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен , поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида (от деления на ), который в силу сказанного можно записать как Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел[66].
Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда[67].
Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел ). Кроме того, любой базис трансцендентности над имеет мощность континуум[K 3]. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей[68][69][K 4].
При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание поля -адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако -адическая норма не является архимедовой[en] и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма[70]. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в -адическом[70].
Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона»[71].
Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют[71].
Комплексные числа в Викиучебнике | |
Комплексные числа на Викискладе |
Эта статья входит в число избранных статей русскоязычного раздела Википедии. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .