WikiSort.ru - Не сортированное

Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Определение

Если для некоторого целого числа ${\displaystyle a}$ и целого числа ${\displaystyle b}$ существует такое целое число ${\displaystyle q}$ , что ${\displaystyle bq=a,}$ то говорят, что число ${\displaystyle a}$ делится нацело на ${\displaystyle b}$ или что ${\displaystyle b}$ делит ${\displaystyle a.}$

При этом число ${\displaystyle b}$ называется делителем числа ${\displaystyle a}$ , делимое ${\displaystyle a}$ будет кратным числа ${\displaystyle b}$ , а число q называется частным от деления a на b.

Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.

Связанные определения

• У каждого натурального числа, большего единицы, имеются по крайней мере два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются простыми, а имеющие больше двух делителей — составными. Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
• У каждого натурального числа, большего 1, есть хотя бы один простой делитель.
• Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
• Вне зависимости от делимости целого числа ${\displaystyle a}$ на целое число ${\displaystyle b\neq 0}$ , число a всегда можно разделить на b с остатком, то есть представить в виде:

  ${\displaystyle a=b\,q+r,}$ где ${\displaystyle 0\leqslant r<|b|}$ .

В этом соотношении число ${\displaystyle q}$ называется неполным частным, а число r — остатком от деления ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$ . Как частное, так и остаток определяются однозначно.

Число a делится нацело на b тогда и только тогда, когда остаток от деления a на b равен нулю.

• Всякое число, делящее как ${\displaystyle a}$ , так и ${\displaystyle b}$ , называется их общим делителем; максимальное из таких чисел называется наибольшим общим делителем. У всякой пары целых чисел есть по крайней мере два общих делителя: +1 и −1. Если других общих делителей нет, то эти числа называются взаимно простыми.
• Два целых числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ называются равноделимыми на целое число ${\displaystyle m}$ , если либо и ${\displaystyle a}$ , и ${\displaystyle b}$ делится на ${\displaystyle m}$ , либо ни ${\displaystyle a}$ , ни ${\displaystyle b}$ не делится на него.

Свойства

Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что ${\displaystyle a,\,b,\,c}$  — целые числа.

• Любое целое число является делителем нуля, и частное равно нулю :

${\displaystyle \quad 0\,\vdots \,a.}$

• Любое целое число делится на единицу:

${\displaystyle \quad a\,\vdots \,1.}$

• На ноль делится только ноль:

${\displaystyle a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0}$ ,

причём частное в этом случае не определено.

• Единица делится только на единицу:

${\displaystyle 1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.}$

• Для любого целого числа ${\displaystyle a\neq 0}$ найдётся такое целое число ${\displaystyle b\neq a,}$ для которого ${\displaystyle b\,\vdots \,a.}$

• Если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ и ${\displaystyle \left|b\right|>\left|a\right|,}$ то ${\displaystyle a\,=\,0.}$ Отсюда же следует, что если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ и ${\displaystyle a\neq 0}$ то ${\displaystyle \left|a\right|\geqslant \left|b\right|.}$

• Для того чтобы ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle \left|a\right|\vdots \left|b\right|.}$

• Если ${\displaystyle a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,}$ то ${\displaystyle \left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b.}$

• Отношение делимости натуральных чисел является отношением нестрогого порядка и, в частности, оно:
  • рефлексивно, то есть любое целое число делится на себя же: ${\displaystyle \quad a\,\vdots \,a.}$
  • транзитивно, то есть если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ и ${\displaystyle b\,\vdots \,c,}$ то ${\displaystyle a\,\vdots \,c.}$
  • антисимметрично, то есть если ${\displaystyle a\,\vdots \,b}$ и ${\displaystyle b\,\vdots \,a,}$ то ${\displaystyle a\,=\,b.}$

В системе целых чисел выполняются только первые два из этих трёх свойств; например, .${\displaystyle 2\,\vdots \,-2}$ и ${\displaystyle -2\,\vdots \,2,}$ но ${\displaystyle 2\neq -2.}$

Число делителей

Число положительных делителей натурального числа ${\displaystyle n,}$ обычно обозначаемое ${\displaystyle \tau (n),}$ является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\right).}$

Здесь ${\displaystyle \gamma }$  — постоянная Эйлера — Маскерони, а для ${\displaystyle \theta }$ Дирихле получил значение ${\displaystyle {\frac {1}{2}}.}$ Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат ${\displaystyle \theta ={\frac {131}{416}}}$ (получен в 2003 году Хаксли). Однако, наименьшее значение ${\displaystyle \theta }$ , при котором эта формула останется верной, неизвестен (доказано, что он не меньше, чем ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ ).^[1][2][3]

При этом средний делитель большого числа n в среднем растёт как ${\displaystyle {\frac {c_{1}n}{\sqrt {\ln n}}}}$ , что было обнаружено А. Карацубой^[4]. По компьютерным оценкам М. Королёва ${\displaystyle c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}}\ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0{,}7138067}$ .

Обобщения

Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например, целые гауссовы числа или кольцо многочленов.

См. также

• Кратность
• Деление (математика)
• Деление с остатком
• Признаки делимости
• Модульная арифметика
• Конгруэнтность (алгебра)
• Сравнение по модулю
• Кольцо (математика)
• Факторизация

Ссылки

• Видео о делимости

Примечания

Литература

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
• Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6.
• Делимость // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 95. — 352 с.