WikiSort.ru - Не сортированное

Область определения

Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при ${\displaystyle x>0}$ . Если ${\displaystyle a>0}$ , то функция определена также и при ${\displaystyle x=0}$ , иначе ноль является её особой точкой.

Рациональный показатель степени

• Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n. При ${\displaystyle a=1}$ получается функция ${\displaystyle y=kx}$ , называемая прямой пропорциональной зависимостью.
• Графики функций вида ${\displaystyle y=x^{-n}}$ , где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n. При ${\displaystyle a=-1}$ получается функция ${\displaystyle y={\frac {k}{x}}}$ , называемая обратной пропорциональной зависимостью.
• Если ${\displaystyle a={\frac {1}{n}}}$ , то функция есть арифметический корень степени n.

Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: ${\displaystyle T=kA^{3/2}}$ (полукубическая парабола).

• 
  Параболы порядка n:     ${\displaystyle n=0}$      ${\displaystyle n=1}$      ${\displaystyle n=2}$      ${\displaystyle n=3}$      ${\displaystyle n=4}$      ${\displaystyle n=5}$
• 
  Гиперболы порядка n:     ${\displaystyle n=-1}$      ${\displaystyle n=-2}$      ${\displaystyle n=-3}$

Свойства

См. также: Возведение в степень

• Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Ноль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ определена в нуле и его правой окрестности, но её производная ${\displaystyle y={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ в нуле не определена.
• В интервале ${\displaystyle (0,\infty )}$ функция монотонно возрастает при ${\displaystyle a>0}$ и монотонно убывает при ${\displaystyle a<0.}$ Значения функции в этом интервале положительны.
• Производная функции: ${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1}.}$
• Неопределённый интеграл:
  • Если ${\displaystyle a\neq -1}$ , то ${\displaystyle \int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}$
  • При ${\displaystyle a=-1}$ получаем: ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C}$