WikiSort.ru - Не сортированное

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 ноября 2017 года.

Формула Муавра для комплексных чисел ${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ утверждает, что

${\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )}$

для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ .

Доказательство

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$ и тождества для экспонент ${\displaystyle (e^{a})^{b}=e^{ab}}$ , где ${\displaystyle b}$  — целое число^[1]. Однако обычно формула Эйлера доказывается как следствие из формулы Муавра, стандартное доказательство опирается на простейшую геометрию.

Применение

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числа:

${\displaystyle z^{1/n}={\big [}r{\big (}\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k){\big )}{\big ]}^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),}$

где ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n-1}$ .

Из основной теоремы алгебры следует, что корни ${\displaystyle n}$ -й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно ${\displaystyle n}$ . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$ с центром в нуле.

При ${\displaystyle r=1}$ из формулы Муавра следуют выражения для вычисления значений тригонометрических функций с кратным аргументом.^[стиль]

История

Открыта английским математиком Абрахамом де Муавром.

См. также

• Корни из единицы — приложение формулы Муавра
• Формула Муавра в статье «Комплексное число»
• Формула Эйлера

Примечания