WikiSort.ru - Не сортированное

Компози́ция фу́нкций (или суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle F}$ обычно обозначается ${\displaystyle G\circ F}$ , что обозначает применение функции ${\displaystyle G}$ к результату функции ${\displaystyle F}$ , то есть ${\displaystyle (G\circ F)(x)=G(F(x))}$ .

Определение

Пусть ${\displaystyle F:X\to Y}$ и ${\textstyle G:F(X)\to Z}$ — две функции (${\displaystyle F(X)\subset Y}$ ). Тогда их композицией называется функция ${\displaystyle G\circ F:X\to Z}$ , определённая равенством:

${\displaystyle (G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.}$

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например, сложной можно назвать функцию ${\displaystyle G}$ вида

  ${\displaystyle G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),}$

потому что она представляет собой функцию ${\displaystyle F}$ , которой на вход подаются результаты функций ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ .

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

  ${\displaystyle (H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).}$

• Если ${\displaystyle F=\mathrm {id} _{X}}$ — тождественное отображение на ${\displaystyle X}$ , то есть

  ${\displaystyle F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,}$

то

${\displaystyle G\circ \mathrm {id} _{X}=G.}$

• Если ${\displaystyle G=\mathrm {id} _{Y}}$ — тождественное отображение на ${\displaystyle Y}$ , то есть

  ${\displaystyle G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,}$

то

${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ F=F.}$

• Рассмотрим пространство всех биекций множества ${\displaystyle X}$ на себя и обозначим его ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$ . То есть, если ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}$ , то ${\displaystyle F:X\to X}$ — биекция. Тогда композиция функций из ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$ является бинарной операцией, а ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}$ — группой. ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}$ является ${\displaystyle F^{-1}\in {\mathcal {F}}_{X}}$ — обратная функция.
  • Группа ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}$ , вообще говоря, не коммутативна, то есть ${\displaystyle F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}}$ .

Дополнительные свойства

• Пусть функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ имеет в точке ${\displaystyle a}$ предел ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}$ , а функция ${\displaystyle g:f(X)\subset Y\to Z}$ имеет в точке ${\displaystyle b}$ предел ${\displaystyle \lim _{y\to b}g(x)}$ . Тогда, если существует проколотая окрестность точки ${\displaystyle a}$ , пересечение которой с множеством ${\displaystyle X}$ отображается функцией ${\displaystyle f:X\to Y}$ в проколотую окрестность точки ${\displaystyle b}$ , то в точке ${\displaystyle a}$ существует предел композиции функций ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ и выполнено равенство: ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(f(x))=\lim _{y\to b}g(y).}$
• Если функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ имеет в точке ${\displaystyle a}$ предел ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}$ , а функция ${\displaystyle g:f(X)\subset Y\to Z}$ непрерывна в точке ${\displaystyle b}$ , то в точке ${\displaystyle a}$ существует предел композиции функций ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ и выполнено равенство: ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).}$
• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})}$ — топологические пространства. Пусть ${\displaystyle f:X\to Y}$ и ${\displaystyle g:f(X)\subset Y\to Z}$  — две функции, ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ , ${\displaystyle f\in C(x_{0})}$ и ${\displaystyle g\in C(y_{0})}$ . Тогда ${\displaystyle g\circ f\in C(x_{0})}$ .

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ , ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$ и ${\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y_{0})}$ . Тогда ${\displaystyle g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$ , и

${\displaystyle (g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})}$ .

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 12 января 2016 года.