WikiSort.ru - Не сортированное

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция ${\displaystyle \displaystyle \zeta (s)}$ комплексного переменного ${\displaystyle s=\sigma +it}$ , при ${\displaystyle \sigma >1}$ определяемая с помощью ряда Дирихле:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,}$

где ${\displaystyle \displaystyle s\in \mathbb {C} }$ .

В комплексной полуплоскости при ${\displaystyle \sigma >1~(\left\{s\mid \operatorname {Re} \,s>1\right\})}$ этот ряд сходится, является аналитической функцией от ${\displaystyle s}$ и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость за исключением особой точки ${\displaystyle s=1}$ .

Дзета-функция Римана имеет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.

В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s=1/2}$ , то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.

Тождество Эйлера

В области ${\displaystyle \left\{s\mid \operatorname {Re} \,s>1\right\}}$ также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$ ,

где произведение берётся по всем простым числам ${\displaystyle \displaystyle p}$ .

Доказательство

Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена, из которого мы можем извлечь пользу:

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\ldots }$

${\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\ldots }$

Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\ldots }$

Повторяем для следующего:

${\displaystyle {\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+{\frac {1}{27^{s}}}+{\frac {1}{33^{s}}}+\ldots }$

Опять вычитаем, получаем:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+{\frac {1}{17^{s}}}+\ldots }$

где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.

Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:

${\displaystyle \ldots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1}$

Поделим обе стороны на всё, кроме ${\displaystyle \zeta (s)}$ , получим:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\ldots }}}$

Можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p:

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда ${\displaystyle \quad \Re (s)>1}$ , просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для ${\displaystyle \zeta (s)}$ .

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства

• Если взять асимптотическое разложение при ${\displaystyle {N\rightarrow +\infty }}$ частичных сумм вида

  ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)+{\frac {1}{1-s}}N^{1-s}+{\frac {1}{2}}N^{-s}-{\frac {5}{12}}sN^{-1-s}+\dots }$ ,

справедливую для ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s>1}$ , она же останется верной и для всех ${\displaystyle s}$ , кроме тех, для которых ${\displaystyle 2-s\in {\mathbb {N} }}$ . Из этого можно получить следующие формулы для ${\displaystyle \zeta (s)}$ :

1. ${\displaystyle \zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}\right)}$ , при ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s>0}$ , кроме ${\displaystyle s=1}$ ;
2. ${\displaystyle \zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}\right)}$ , при ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s>-1}$ , кроме ${\displaystyle s=1}$ или ${\displaystyle 0}$ ;
3. ${\displaystyle \zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}+{\frac {5}{12}}sN^{-1-s}\right)}$ , при ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s>-2}$ , кроме ${\displaystyle s=1}$ , ${\displaystyle 0}$ или ${\displaystyle -1}$ и т.д.

• Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:

  ${\displaystyle 2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}}$ , где ${\displaystyle \displaystyle B_{2m}}$  — число Бернулли.

В частности, ${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}},\ \ \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\ \ \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}},\ \ \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}$

• Кроме того, получено значение ${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2}}}$ , где ${\displaystyle \psi }$ — полигамма-функция;
• Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2018 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное^[1].
• При ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s>1}$
  • ${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$ , где ${\displaystyle \displaystyle \mu (n)}$  — функция Мёбиуса
  • ${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}}$ , где ${\displaystyle \displaystyle \lambda (n)}$  — функция Лиувиля
  • ${\displaystyle \zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}}$ , где ${\displaystyle \displaystyle \tau (n)}$  — число делителей числа ${\displaystyle \displaystyle n}$
  • ${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}}$
  • ${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n)}}{n^{s}}}}$ , где ${\displaystyle \displaystyle \nu (n)}$  — число простых делителей числа ${\displaystyle \displaystyle n}$
  • ${\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2})}{n^{s}}}}$
  • ${\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n))^{2}}{n^{s}}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \zeta (s)}$ имеет в точке ${\displaystyle \displaystyle s=1}$ простой полюс с вычетом, равным 1.
• Дзета-функция при ${\displaystyle \displaystyle s\neq 0,s\neq 1}$ удовлетворяет уравнению:

  ${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$ ,

где ${\displaystyle \displaystyle \Gamma (z)}$  — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем кто его первым строго доказал.^[2]

• Для функции

  ${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$ ,

введённой Риманом для исследования ${\displaystyle \displaystyle \zeta (s)}$ и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:

${\displaystyle \displaystyle \ \xi (s)=\xi (1-s)}$ .

Обобщения

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

• Дзета-функция Гурвица:

  ${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s},}$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Полилогарифм:

  ${\displaystyle \mathrm {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},}$

который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.

• Дзета-функция Лерха:

  ${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},}$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Квантовый аналог (q-аналог).

Аналогичные конструкции

В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора^[3]. Пусть ${\displaystyle A}$  — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр ${\displaystyle \mathrm {spec} A=\mathrm {diag} \{\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \}}$ . Причём существует вещественное число ${\displaystyle \alpha >0}$ , такое, что оператор ${\displaystyle (I+A)^{-\alpha }}$ имеет след. Тогда дзета-функция ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$ оператора ${\displaystyle A}$ определяется для произвольного комплексного числа ${\displaystyle s}$ , лежащего в полуплоскости ${\displaystyle \mathrm {Re} s>\alpha }$ , может быть задана сходящимся рядом

${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{\lambda _{n}\neq 0}{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}}$

Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки ${\displaystyle s=0}$ , то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора ${\displaystyle A}$ в соответствии с формулой

${\displaystyle \det \,'A=e^{-{\frac {d\zeta _{A}}{ds}}(0)}.}$

История

Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.

Примечания

Литература

• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2..
• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.

Ссылки

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.