WikiSort.ru - Не сортированное

Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся привлекают неалгебраические концепции, вроде полноты множества вещественных чисел или топологии комплексной плоскости. К тому же теорема не является «основной» в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений алгебраических уравнений с вещественными и комплексными коэффициентами.

Доказательство

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт (теорема Лиувилля), что ограниченная функция, аналитическая на всей комплексной плоскости (целая функция) и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Поэтому, функция ${\displaystyle 1/p}$ , где ${\displaystyle p}$  — многочлен, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.

Следствие

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени ${\displaystyle n}$ над полем комплексных чисел имеет в нём ровно ${\displaystyle n}$ корней, с учётом их кратности.

История

Теорема впервые встречается у немецкого математика Петера Рота (Peter Roth или Peter Rothe, ?—1617). В своём трактате «Arithmetica Philosophica» (1608) он высказал предположение о том, что многочлен ${\displaystyle n}$ -й степени может иметь не более ${\displaystyle n}$ корней. Более смелую формулировку дал Альбер Жирар в труде «Новое открытие в алгебре» (1629): уравнение степени ${\displaystyle n}$ должно иметь ровно ${\displaystyle n}$ корней, действительных (включая отрицательные) или воображаемых (последний термин обозначал комплексные корни, пользу от которых Жирар особо оговорил). Однако Жирар сделал оговорку: эта теорема может быть неверна, если «уравнение неполное», то есть некоторые коэффициенты равны нулю. Взгляды Рота и Жирара опередили своё время и широкой известности не получили^[1].

Декарт в труде «Геометрия» (1637) использовал следующую формулировку: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней, или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений»; далее он тоже делает оговорку: «хотя всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням»^[2].

Маклорен и Эйлер уточнили формулировку теоремы, придав ей форму, эквивалентную современной: всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. Д’Аламбер первым в 1746 году представил доказательство этой теоремы, которое было опубликовано в 1748 году^[3]; оно, однако, основывалось на лемме, доказанной только в 1851 году, причём доказанной с использованием основной теоремы алгебры. В 1749 году было представлено, а в 1751 году — опубликовано, доказательство Эйлера^[4], при этом работал он над данной проблемой почти в то же время, что и Д’Аламбер^[5]. Также во второй половине XVIII века появляются доказательства Лагранжа (1772)^[6], Лапласа (1795)^[7] и других. Все эти доказательства тоже опирались на недоказанные предположения — например, Эйлер считал очевидным, что вещественный многочлен нечётной степени непременно имеет вещественный корень, а Лаплас предположил без доказательства, что все корни многочлена либо вещественные, либо комплексные^[8].

Гаусс в 1799 году дал своё доказательство, однако использовал то же предположение, что и Эйлер; впоследствии он не раз возвращался к этой теме и дал ещё три доказательства, основанные на различных идеях, однако всегда привлекающие средства неалгебраического характера^[8]. Первое полное и строгое доказательство было представлено Жаном Арганом в 1814 году; в 1816 году строгое доказательство опубликовал и Гаусс^[9].

См. также

• Основная теорема анализа
• Основная теорема арифметики

Примечания

Литература

• Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях // Математическое просвещение. — МЦНМО, 2001. — С. 192.
• Башмакова И.Г. О доказательстве основной теоремы алгебры // Историко-математические исследования / Под редакцией Г. Ф. Рыбкина, А. П. Юшкевича. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — Вып. X. — С. 257—304.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Тихомиров В. М., Успенский В. В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50—70.

Ссылки

• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. The fundamental theorem of algebra (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (май 1996).