WikiSort.ru - Не сортированное

Абсолю́тная величина́, или мо́дуль числа ${\displaystyle x}$ (в математике) — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа ${\displaystyle x}$ . Обозначается: ${\displaystyle |x|}$ .

В случае вещественного ${\displaystyle x}$  абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

${\displaystyle \ |x|={\begin{cases}\ \ x,&x\geqslant 0\\-x,&\ x<0\end{cases}}}$

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа ${\displaystyle z=x+iy,}$ также иногда называемый абсолютной величиной^[1]. Он определяется по формуле:

${\displaystyle |z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|}$ означает расстояние между точками ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Алгебраические свойства

Для любых вещественных чисел ${\displaystyle a,b}$ имеют место следующие соотношения:

• ${\displaystyle \ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatorname {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}}$ (см. Функция sgn(x)).
• ${\displaystyle a\leqslant |a|}$
• ${\displaystyle -|a|\leqslant a}$ .
• Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: ${\displaystyle |a|^{2}=a^{2}}$

Как для вещественных, так и для комплексных ${\displaystyle a,b}$ имеют место соотношения:

• Модуль любого числа равен либо больше нуля: ${\displaystyle |a|\geqslant 0}$ , причём ${\displaystyle |a|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=0}$
• Модули противоположных чисел равны: ${\displaystyle |-a|=|a|}$
• Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ${\displaystyle |ab|=|a||b|}$
• Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: ${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}}$
• Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: ${\displaystyle |ab|=a|b|,a>0}$
• ${\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}$ (неравенство треугольника).
• ${\displaystyle |a-b|\leqslant |a|+|b|}$ .
• ${\displaystyle |a|-|b|\leqslant |a+b|}$ .
• ${\displaystyle |a\pm b|\geqslant ||a|-|b||}$ .
• ${\displaystyle |a^{k}|=|a|^{k}}$ , если ${\displaystyle a^{k}}$ существует.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica Abs[x].

Обобщение

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведенным выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую ${\displaystyle \|x\|}$ . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

• Модуль комплексного числа
• Модуль вектора
• Норма вектора
• Нормирование
• Нормированное векторное пространство

Примечания