WikiSort.ru - Не сортированное

Аффи́нное преобразование, иногда Афинное преобразование^[1] (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся^[2].

Определение

Аффинное преобразование ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ есть преобразование вида

${\displaystyle f(x)=M\cdot x+v,}$

где ${\displaystyle M}$  — обратимая матрица (неособенный аффинор) и ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ .

Примеры

Примерами аффинных преобразований являются

• движения;
• растяжения;
• преобразования подобия.

Свойства

• При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Если размерность пространства ${\displaystyle {n}\geqslant 2}$ ^{[источник не указан 2354 дня]}, то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
• Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
• Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразований

• Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
• Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование ${\displaystyle f(x)=M\cdot x+v}$ можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}}$

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL^[3]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована^[4].

Вариации и обобщения

• В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
• Аффинные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ можно представить как аффинные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ .

См. также

• Способ «резинового листа» (Локально-аффинная трансформация)

Примечания

Ссылки

• Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление

Имеется викиучебник по теме
«Аффинное преобразование»