WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей  ${\displaystyle Cl(E,Q(,))}$ над некоторым коммутативным кольцом ${\displaystyle K}$ (${\displaystyle E}$ — векторное пространство, или более общо свободный ${\displaystyle K}$ -модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на ${\displaystyle E}$ билинейной формой ${\displaystyle Q}$ .

Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства E⊕K и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.

Формальное определение

Пусть ${\displaystyle K}$   — коммутативное кольцо с единицей,  ${\displaystyle E}$  — свободный K-модуль, ${\displaystyle Q}$  — квадратичная форма на  ${\displaystyle E}$ . Алгеброй Клиффорда квадратичной формы ${\displaystyle Q}$ (или пары ${\displaystyle (E,Q)}$ ) называется факторалгебра ${\displaystyle Cl(E,Q)}$ тензорной алгебры ${\displaystyle T(E)}$ , ${\displaystyle K}$ -модуля ${\displaystyle E}$ по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида

${\displaystyle x\otimes x-Q(x,x)1,~~x\in E}$

Элементы (векторы) из ${\displaystyle E}$ , являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы ${\displaystyle Cl(Q)}$ , причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:

${\displaystyle E\hookrightarrow Cl(Q)}$ .

Примеры вещественных и комплексных алгебр

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 30 июня 2014 года.

Свойства

• Основное тождество алгебр Клиффорда: если характеристика кольца K не равна двум, то для любых ${\displaystyle x,y\in E}$ :

  ${\displaystyle xy+yx=2\left\langle x,y\right\rangle }$

где ${\displaystyle \left\langle ,\right\rangle }$ — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:

${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle :={\frac {1}{2}}\left(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)\right)}$ .

• выражение ${\displaystyle [x,y]:=xy+yx}$ называется антикоммутатором ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ .

• Для нулевой квадратичной формы ${\displaystyle Q}$ алгебра ${\displaystyle Cl(E,Q)}$ совпадает со внешней алгеброй ${\displaystyle \Lambda (E)}$ ${\displaystyle K}$ -модуля ${\displaystyle E}$ .
• Пусть ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ — некоторый базис ${\displaystyle K}$ -модуля ${\displaystyle E}$ , тогда элементы вида

  ${\displaystyle 1,e_{j_{1}}e_{j_{2}}\dots e_{j_{k}}\ (j_{1}<\dots <j_{k},}$ для всех k от 1 по n) или, иначе: ${\displaystyle e_{1}^{\sigma _{1}}e_{2}^{\sigma _{2}}\dots e_{n}^{\sigma _{n}}}$ где ${\displaystyle \sigma _{j}=0,1}$ образуют базис ${\displaystyle K}$ -модуля ${\displaystyle Cl(Q)}$ . В частности, ${\displaystyle Cl(Q)}$ является свободным ${\displaystyle K}$ -модулем ранга (размерности) ${\displaystyle 2^{n}}$

  • Если, кроме того, ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ ортогональны относительно ${\displaystyle Q}$ , то ${\displaystyle Cl(Q)}$ можно задать как ${\displaystyle K}$ -алгебру с образующими ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ и определяющими соотношениями ${\displaystyle e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=0}$ , (${\displaystyle i\not =j}$ ) и ${\displaystyle e_{i}^{2}=Q(e_{i},e_{i})}$ .
• Алгебра Клиффорда обладает Z₂-градуировкой. В частности, подмодуль в ${\displaystyle Cl(Q)}$ , порождённый произведениями чётного числа элементов из ${\displaystyle E}$ , образует подалгебру в ${\displaystyle Cl(Q)}$ , которая обозначается через ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$ .
• Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и квадратичная форма ${\displaystyle Q(,)}$ невырождена
  • тогда при чётном n алгебра ${\displaystyle Cl(Q)}$ является центральной простой алгеброй над ${\displaystyle K}$ размерности ${\displaystyle 2^{n}}$ , подалгебра ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$ сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над ${\displaystyle K}$ .
• Если ${\displaystyle K}$ алгебраически замкнуто, то
  • при чётном n ${\displaystyle Cl(Q)}$ — матричная алгебра, a ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$ — произведение двух матричных алгебр,
  • при нечётном n, наоборот, ${\displaystyle Cl^{+}(Q)}$ — матричная, а ${\displaystyle Cl(Q)}$ — произведение двух матричных алгебр.

Литература

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.
• Lounesto, Pertti (2001), Clifford algebras and spinors, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7  (см.)
• Ian R. Porteous «Clifford algebras and the classical groups» Cambridge, CUP, 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
• R. Jagannathan (2010), «On generalized Clifford algebras and their physical applications»