WikiSort.ru - Не сортированное

Матричное представление

Есть три комплексные матрицы, для которых: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.}$   Притом квадрат каждой из этих матриц есть «минус единичная матрица», а если произведению этих матриц сопоставить произведение чисел ${\displaystyle ij=k;ji=-k}$ . Получаем, что порождаемая этим матрицами подгруппа матричной группы изоморфна группе кватернионов. Следовательно, если сопоставить матрице ${\displaystyle {\begin{pmatrix}u+iv&w+ix\\-w+ix&u-iv\end{pmatrix}}}$ бикватернион ${\displaystyle q=u+iv+jw+kx}$ , то для данной 2×2 комплексной матрицы, всегда существуют комплексные величины ${\displaystyle u,v,w,x}$ в этой форме. Иначе говоря, кольцо комплексных матриц изоморфно^[1] кольцу (ординарных) бикватернионов.

Скалярно-векторное представление

Произвольный бикватернион ${\displaystyle A}$ есть сумма (связка) комплекснозначных числа («скаляра») ${\displaystyle \alpha =Sc(A)}$ и трёхмерного вектора ${\displaystyle \mathbf {a} =Vc(A)}$ ^[2]:

${\displaystyle A=\alpha +\mathbf {a} =(\alpha ,\mathbf {a} )}$

Возможны два типа скалярно-векторного представления в зависимости от вида произведения двух бикватернионов. Оба представления эквивалентны. В случае стандартного представления произведение ${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$ и ${\displaystyle B=(\beta ,\mathbf {b} )}$ имеет вид^[3]:

${\displaystyle AB=(\alpha \beta -(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +[\mathbf {a} \mathbf {b} ])}$ ,

где ${\displaystyle (\mathbf {a} \mathbf {b} )}$ и ${\displaystyle [\mathbf {a} \mathbf {b} ]}$  — скалярное и векторное произведения соответственно.

В случае комплексного представления^[4]:

${\displaystyle AB=(\alpha \beta +(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +i[\mathbf {a} \mathbf {b} ])}$

Так определённое произведение для двух вещественных бикватернионов даёт в общем случае комплекснозначный бикватернион.

Бикватернион, сопряженный данному ${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$ , есть:

${\displaystyle {\overline {A}}=(\alpha ,-\mathbf {a} )}$

Квадрат модуля бикватерниона ${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$ есть комплексное число:

${\displaystyle |A|^{2}=A{\overline {A}}={\overline {A}}A=\alpha ^{2}-\mathbf {a} ^{2}}$

Последний обладает свойством мультипликативности:

${\displaystyle |AB|^{2}=|A|^{2}|B|^{2}}$

Операции сопряжения и комплексного сопряжения, примененные к произведению бикватернионов, меняют порядок сомножителей:

${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {B}}{\overline {A}}}$

${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$

Все бикватернионы подразделяются на нулькватернионы — с нулевым квадратом модуля, и остальные — ненулевые бикватернионы. Каждый из этих классов замкнут относительно операции умножения.

Подалгебры

При рассмотрении (ординарных) бикватернионов как алгебры над полем вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , набор ${\displaystyle \{1,I,i,Ii,j,Ij,k,Ik\}}$ образует базис, эта алгебра имеет вещественную размерность пространства восемь. Притом квадраты всех элементов ${\displaystyle Ii,Ij,Ik}$ равны ${\displaystyle +1}$ . Значит, вещественная подалгебра, образуемая ${\displaystyle \lbrace x+y(Ii):x,y\in R\rbrace }$ изоморфна кольцу, которое образуют двойные числа (с алгебраической структурой аналогичной строящейся над единичной гиперболой^[en]). Элементы ${\displaystyle Ij,Ik}$ определяют такие же подалгебры.

Элементы ${\displaystyle \lbrace x+yj:x,y\in C\rbrace }$ образуют подалгебру изоморфную бикомплексным числам^[en].

Третий вид подалгебры, т. н. «кокватернионы^[en]», порождается ${\displaystyle Ij,Ik}$ , так как вещественное линейное подпространство с базисом ${\displaystyle \{1,i,Ij,Ik\}}$ замкнуто по умножению (ведь ${\displaystyle Ij\cdot Ik=-i}$ . Указанный базис образует диэдральную группу квадрата, а кокватернионы изоморфны алгебре вещественных матриц 2х2.

Квантовая механика и спинорная алгебра трактуют бикватернионы ${\displaystyle Ii,Ij,Ik}$ (или их отрицание), рассматривая их в преставлении ${\displaystyle M(2,C)}$ как матрицы Паули.