WikiSort.ru - Не сортированное

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Множество ${\displaystyle \mathbb {N} }$ будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), функция ${\displaystyle S}$ c областью определения ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , называемая функцией следования (${\displaystyle S\colon \mathbb {N} }$ ), и выполнены следующие условия:

1. элемент единица принадлежит этому множеству (${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$ ), то есть является натуральным числом;
2. число, следующее за натуральным, также является натуральным (если ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ , то ${\displaystyle S(x)\in \mathbb {N} }$ или, в более короткой записи, ${\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ );
3. единица не следует ни за каким натуральным числом (${\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)}$ );
4. если натуральное число ${\displaystyle a}$ непосредственно следует как за натуральным числом ${\displaystyle b}$ , так и за натуральным числом ${\displaystyle c}$ , то ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$  — это одно и то же число (если ${\displaystyle S(b)=a}$ и ${\displaystyle S(c)=a}$ , то ${\displaystyle b=c}$ );
5. (аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание) ${\displaystyle P}$ доказано для натурального числа ${\displaystyle n=1}$ (база индукции) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа ${\displaystyle n}$ , вытекает, что оно верно для следующего за ${\displaystyle n}$ натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть ${\displaystyle P(n)}$  — некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число ${\displaystyle n}$ . Тогда, если ${\displaystyle P(1)}$ и ${\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))}$ , то ${\displaystyle \forall n\;P(n)}$ ).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.^[3], а также краткое доказательство^[4]), что если ${\displaystyle (\mathbb {N} ,1,S)}$ и ${\displaystyle ({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})}$  — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}}$ такая, что ${\displaystyle f(1)={\tilde {1}}}$ и ${\displaystyle f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))}$ для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве ${\displaystyle \mathbb {N} }$ какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Ноль как натуральное число

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом ${\displaystyle \mathbb {N} }$ образует моноид.

В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел (${\displaystyle 0\notin \mathbb {N} }$ ), а множество натуральных чисел с нулём обозначается как ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ . Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , а без нуля — как ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$ .

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество ${\displaystyle \{1,2,\dots \}}$ обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$ . Множество ${\displaystyle \{0,1,\dots \}}$ зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\geqslant 0}}$ .

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела)

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

• ${\displaystyle 0=\varnothing }$ ;
• ${\displaystyle S(n)=n\cup \left\{n\right\}}$ .

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

• ${\displaystyle 0=\varnothing }$ ;
• ${\displaystyle 1=\varnothing \cup \left\{0\right\}=\left\{\varnothing \right\}}$ ;
• ${\displaystyle 2=1\cup \left\{1\right\}={\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}}$ ;
• ${\displaystyle 3=2\cup \left\{2\right\}={\Big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}{\Big \}}}$ .

Основные свойства

• Коммутативность сложения:

${\displaystyle a+b=b+a}$ .

• Коммутативность умножения:

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ .

• Ассоциативность сложения:

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ .

• Ассоциативность умножения:

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ .

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

${\displaystyle {\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{cases}}}$ .

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и рациональных положительных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{*}}$ соответственно.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A], основные арифметические операции определятся следующим образом:

• ${\displaystyle [A]+[B]=[A\sqcup B]}$ ;
• ${\displaystyle [A]\cdot [B]=[A\times B]}$ ;
• ${\displaystyle {[A]}^{[B]}=[A^{B}]}$ ,

где:

• ${\displaystyle A\sqcup B}$  — дизъюнктное объединение множеств;
• ${\displaystyle A\times B}$  — прямое произведение;
• ${\displaystyle A^{B}}$  — множество отображений из B в A.

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.