WikiSort.ru - Не сортированное

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения

• Пусть ${\displaystyle X}$  — некоторое множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$  — семейство всех его подмножеств. Тогда ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ является топологией на этом множестве, называемой дискретной топологией, а пара ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
• Пусть ${\displaystyle (X,\varrho )}$  — метрическое пространство, где метрика ${\displaystyle \varrho }$ определена следующим образом:

${\displaystyle \varrho (x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\not =y\\0,&x=y\end{matrix}}\right.,\quad x,y\in X.}$

Тогда ${\displaystyle \varrho }$ называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Примеры

• Пусть ${\displaystyle X=\{1,\ldots ,n\},}$ где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , и ${\displaystyle \varrho }$  — дискретная метрика на ${\displaystyle X}$ . Тогда ${\displaystyle (X,\varrho )}$  — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
• Пусть ${\displaystyle X=\{1/n\}_{n\in \mathbb {N} },}$ и ${\displaystyle \varrho (x,y)=|x-y|.}$ Данная метрика не дискретна, однако она порождает дискретную топологию.

Свойства

• Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество открыто.
• Все одноточечные подмножества дискретного топологического пространства образуют базу дискретной топологии.
• Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
• Дискретное метрическое пространство ограничено.
• Любые два дискретных топологических пространства, имеющие одинаковую мощность, гомеоморфны.
• Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
• Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Тривиальная топология.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 27 августа 2014 года.