WikiSort.ru - Не сортированное

Характеристика (кольца или поля) — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств этих алгебраических структур.

Определение

Пусть ${\displaystyle R}$  — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное число ${\displaystyle n}$ , что для каждого элемента ${\displaystyle r\in R}$ выполняется равенство

${\displaystyle n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r} _{n}=0}$ ,

то наименьшее из таких чисел ${\displaystyle n}$ называется характеристикой кольца ${\displaystyle R}$ и обозначается символом ${\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R}$ . При этом кольцо ${\displaystyle R}$ называется кольцом положительной характеристики ${\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R}$ .

Если же таких чисел ${\displaystyle n}$ не существует, то полагают ${\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R=0}$ и называют ${\displaystyle R}$ кольцом характеристики нуль.

При наличии единицы в кольце ${\displaystyle R}$ , определение несколько упрощается. В этом случае характеристику обычно определяют как наименьшее ненулевое натуральное число ${\displaystyle n,}$ такое что ${\displaystyle n\cdot 1=0,}$ если же такого ${\displaystyle n}$ не существует, то характеристика равна нулю.

Примеры

• Характеристики кольца целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , поля комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ равны нулю.
• Характеристика кольца вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ равна ${\displaystyle n}$ .
• Характеристика конечного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}}$ , где ${\displaystyle p}$  — простое число, ${\displaystyle m}$  — положительное целое, равна ${\displaystyle p}$ .

Свойства

• Тривиальное кольцо с единственным элементом ${\displaystyle 0=1}$  — единственное кольцо с характеристикой ${\displaystyle 1}$ .
• Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику ${\displaystyle n}$ , то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля ${\displaystyle K}$ есть либо ${\displaystyle 0}$ , либо простое число ${\displaystyle p}$ . В первом случае поле ${\displaystyle K}$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , во втором случае поле ${\displaystyle K}$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ . В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в ${\displaystyle K}$ ).
• Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ и алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ .
• Если ${\displaystyle R}$  — коммутативное кольцо простой характеристики ${\displaystyle p}$ , то ${\displaystyle (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}}$ для всех ${\displaystyle a,b\in R}$ , ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.

Литература

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.