WikiSort.ru - Не сортированное

Стандартное

Кватернионы можно определить как сумму

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$

где ${\displaystyle a,b,c,d}$  — вещественные числа

${\displaystyle i,j,k}$  — мнимые единицы со следующим свойством: ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$ , при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является коммутативным): ${\displaystyle ij=k}$ , a ${\displaystyle ji=-k}$ .

Таблица умножения базисных кватернионов — ${\displaystyle 1,i,j,k}$  — выглядит так:

${\displaystyle {\begin{matrix}&\times &\mathbf {1} &\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\&\mathbf {1} &\,1&\,i&\,j&\,k\\&\mathbf {i} &\,i&\,-1&\,k&\,-j\\&\mathbf {j} &\,j&\,-k&\,-1&\,i\\&\mathbf {k} &\,k&\,j&\,-i&\,-1\\\end{matrix}}}$

Как вектор и скаляр

Кватернион представляет собой пару ${\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right),}$ где ${\displaystyle {\vec {u}}}$  — вектор трёхмерного пространства, а ${\displaystyle a}$  — скаляр, то есть вещественное число.

Операции сложения определены следующим образом:

${\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+{\vec {v}}\right)}$

Произведение определяется следующим образом:

${\displaystyle \left(a,{\vec {u}}\right)\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(ab-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},a{\vec {v}}+b{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)}$

где ${\displaystyle \cdot }$ обозначает скалярное произведение, а ${\displaystyle \times }$  — векторное произведение.

В частности,

${\displaystyle \left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\right)=\left(0,a{\vec {v}}\right)}$

${\displaystyle \left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\right)}$

${\displaystyle \left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)}$

Заметим, что:

• Алгебраические операции в кватернионах обладают свойством дистрибутивности;
• Антикоммутативность векторного произведения влечёт некоммутативность произведения кватернионов.

Через комплексные числа

Произвольный кватернион ${\displaystyle \ q=a+bi+cj+dk}$ можно представить как пару комплексных чисел в виде

${\displaystyle \ q=(a+bi)+(c+di)j}$

или эквивалентно

${\displaystyle \ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,}$

где ${\displaystyle \ z_{1},z_{2}}$  — комплексные числа, поскольку ${\displaystyle \ i^{2}=-1}$ выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а ${\displaystyle k=ij}$ .

Через матричные представления

Сопряжение

Для кватерниона ${\displaystyle q}$ сопряжённым называется:

${\displaystyle {\bar {q}}=a-bi-cj-dk}$

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

${\displaystyle {\overline {pq}}={\bar {q}}{\bar {p}}}$

Для кватернионов справедливо равенство

${\displaystyle {\overline {p}}=-{\frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk)}$

Модуль

Так же, как и для комплексных чисел,

${\displaystyle \left|q\right|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$

называется модулем ${\displaystyle q}$ . Если ${\displaystyle \left|q\right|=1,}$ то ${\displaystyle q}$ называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: ${\displaystyle \left\|z\right\|=\left|z\right|}$ .

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что ${\displaystyle \left|p\cdot q\right|=\left|p\right|\cdot \left|q\right|,}$ иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Обращение умножения (деление)

Кватернион, обратный по умножению к ${\displaystyle q}$ , вычисляется так: ${\displaystyle q^{-1}={\frac {\bar {q}}{\left|q\right|^{2}}}}$ .

Целые единичные кватернионы

Существует 24 целых единичных кватерниона:

${\displaystyle \pm 1}$ ; ${\displaystyle \pm i}$ ; ${\displaystyle \pm j}$ ; ${\displaystyle \pm k}$ ; ${\displaystyle {\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2}}}$ .

Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4х-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3х-мерным многогранником-кубооктаэдром).

Разложение на простые сомножители

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.^[4] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона ${\displaystyle N(q)}$ в произведение простых целых положительных чисел ${\displaystyle N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n}}$ существует разложение кватерниона ${\displaystyle q}$ в произведение простых кватернионов ${\displaystyle q=q_{1}q_{2}...q_{n}}$ такое, что ${\displaystyle N(q_{i})=p_{i}}$ . Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

${\displaystyle q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar {\epsilon }}_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar {\epsilon }}_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar {\epsilon }}_{n-1}q_{n}\right)}$ ,

где ${\displaystyle \epsilon _{1}}$ , ${\displaystyle \epsilon _{2}}$ , ${\displaystyle \epsilon _{3}}$ , … ${\displaystyle \epsilon _{n-1}}$  — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион ${\displaystyle q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i)}$ имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

${\displaystyle 60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2}$

${\displaystyle 60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2}$

Общее число разложений такого кватерниона равно ${\displaystyle 24^{3}\cdot 12=165888}$

Вспомогательные функции

Знак кватерниона вычисляется так:

${\displaystyle \operatorname {sgn} \,q={\frac {q}{\left|q\right|}}}$ .

Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:

${\displaystyle \arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}}$ .

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона ${\displaystyle q}$ в виде

${\displaystyle q=a+\left|\mathbf {u} \right|\mathrm {i} =\left|q\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\mathrm {arg} \,q}}$

Здесь ${\displaystyle a}$  — вещественная часть кватерниона, ${\displaystyle \mathrm {i} =\left|\mathbf {u} \right|^{-1}\mathbf {u} }$ . При этом ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$ , поэтому проходящая через ${\displaystyle q}$ и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид ${\displaystyle a+b\mathrm {i} }$ для фиксированного единичного вектора ${\displaystyle \mathrm {i} }$ . В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.

Элементарные функции

Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если ${\displaystyle f(a+b\mathrm {i} )=c+d\mathrm {i} }$ для комплексных чисел, то ${\displaystyle f(q)=c+d\mathbf {i} }$ , где кватернион ${\displaystyle q}$ рассматривается в «комплексном» представлении ${\displaystyle q=a+b\mathbf {i} }$ .

Степень и логарифм

${\displaystyle \exp q=\exp a\left(\cos \left|\mathbf {u} \right|+\sin \left|\mathbf {u} \right|{\hat {\mathbf {u} }}\right)}$

${\displaystyle \ln q=\ln \left|q\right|+\arg q\,{\hat {\mathbf {u} }}}$

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до ${\displaystyle 2\pi {\hat {\mathbf {u} }}}$ .

Тригонометрические функции

${\displaystyle \sin q=\sin a\,\operatorname {ch} \left|\mathbf {u} \right|+\cos a\,\operatorname {sh} \left|\mathbf {u} \right|{\hat {\mathbf {u} }}}$

${\displaystyle \cos q=\cos a\,\operatorname {ch} \left|\mathbf {u} \right|-\sin a\,\operatorname {sh} \left|\mathbf {u} \right|{\hat {\mathbf {u} }}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,q={\frac {\sin q}{\cos q}}}$

Линейное отображение

Отображение ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$

${\displaystyle f(ax)=af(x)}$

${\displaystyle x,y\in \mathbb {H} ,a\in \mathbb {R} }$

где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — поле действительных чисел. Если ${\displaystyle f}$ является линейным отображением алгебры кватернионов, то для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$ отображение

${\displaystyle (afb)(x)=af(x)b}$

является линейным отображением. Если ${\displaystyle f}$ — тождественное отображение (${\displaystyle f(x)=x}$ ), то для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {H} }$ мы можем отождествить тензорное произведение ${\displaystyle a\otimes b}$ с отображением

${\displaystyle (a\otimes b)\circ x=axb}$

Для любого линейного отображения ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ существует тензор ${\displaystyle a\in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H} }$ , ${\displaystyle a=a_{s0}\otimes a_{s1}}$ , такой, что

${\displaystyle f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1}}$

В приведенных выше равенствах предполагается суммирование по индексу ${\displaystyle s}$ . Поэтому мы можем отождествить линейное отображение ${\displaystyle f}$ и тензор ${\displaystyle a}$ .

Регулярные функции

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию ${\displaystyle f}$ как имеющую предел

${\displaystyle {\frac {df}{dq}}=\lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f\left(q+h\right)-f\left(q\right)\right)\right]}$

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки ${\displaystyle q}$ вид

${\displaystyle f=a+qb}$

где ${\displaystyle a,b}$  — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}={\frac {\partial }{\partial t}}-{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}}$

и рассмотрении таких кватернионных функций ${\displaystyle f}$ , для которых^[5]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {q}}}}=0}$

что полностью аналогично использованию операторов ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$ в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций^[6].

Дифференцирование отображений

Непрерывное отображение ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ называется дифференцируемым на множестве ${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$ , если в каждой точке ${\displaystyle x\in U}$ изменение отображения ${\displaystyle f}$ может быть представлено в виде

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)}$

где

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

линейное отображение алгебры кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} }$ и ${\displaystyle o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$ такое непрерывное отображение, что

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0}$

Линейное отображение ${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}}$ называется производной отображения ${\displaystyle f}$ .

Производная может быть представлена в виде^[7]

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Соответственно дифференциал отображения ${\displaystyle f}$ имеет вид

df=${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Здесь предполагается суммирование по индексу ${\displaystyle s}$ . Число слагаемых зависит от выбора функции ${\displaystyle f}$ . Выражения ${\displaystyle {\frac {d_{s0}df(x)}{dx}}}$ и ${\displaystyle {\frac {d_{s1}f(x)}{dx}}}$ называются компонентами производной.

Для произвольного кватерниона ${\displaystyle a}$ верно равенство

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ a=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))}$

Умножение Грассмана

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов (${\displaystyle pq}$ ).

Евклидово умножение

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: ${\displaystyle {\bar {p}}q}$ . Оно также некоммутативно.

Скалярное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов:

${\displaystyle p\cdot q={\frac {{\bar {p}}q+{\bar {q}}p}{2}}}$ .

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, ${\displaystyle \left(a+bi+cj+dk\right)\cdot i=b}$ .

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

${\displaystyle \left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}}$ .

Внешнее произведение

${\displaystyle \operatorname {Outer} \left(p,q\right)={\frac {{\bar {p}}q-{\bar {q}}p}{2}}}$ .

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Векторное произведение

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

${\displaystyle p\times q={\frac {pq-qp}{2}}}$ .