Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков[1].
Неравенства и равносильны. Говорят, что знаки и противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что заменено на или наоборот.
Русскоязычная традиция начертания знаков и отличается от принятой за рубежом, где обычно используются знаки и . Про знаки и также говорят, что они противоположны.
Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.
В элементарной математике изучают числовые неравенства. В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.
Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).
Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:
Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство — алгебраическое первой степени, неравенство — алгебраическое третьей степени, неравенство — трансцендентное[2].
Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений[1]:
Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:
Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство возвести в квадрат: то появится ошибочное решение не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.
Неравенство первой степени имеет общий формат: или где (работа со знаками и аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на и, если измените знак неравенства на противоположный[3]. Пример:
Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.
Пример 1. Из системы получаем два решения: для первого неравенства для второго: Соединяя их, получаем ответ:
Пример 2. Решения: и Второе решение поглощает первое, так что ответ:
Пример 3. Решения: и они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.
Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):
Если квадратное уравнение имеет вещественные корни то неравенство можно привести к виду соответственно:
В первом случае и должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило[4].
Квадратный трёхчлен с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала. |
Если оказалось, что у уравнения вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры[5]).
Пример 1. Разделив на приведём неравенство к виду: Решив квадратное уравнение получаем корни поэтому исходное неравенство равносильно такому: Согласно приведенному выше правилу, что и является ответом.
Пример 2. Аналогично получаем, что и имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, либо либо
Пример 3. Уравнение не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех При левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех ).
Пример 4. Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.
Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах[6].
Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы[7].
Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.
Символ | Языки |
---|---|
!= | C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Wolfram Language |
<> | Basic, Pascal |
~= | Lua |
/= | Haskell, Fortran, Ada |
# | Modula-2, Oberon |
Символ | Изображение | Юникод | Русское название | HTML | LaTeX | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Код | Название | Шестнадцатеричное | Десятичное | Мнемоника | ||||
< | U+003C | Less-than sign | Меньше | < | < | < | <, \textless | |
> | U+003E | Greater-than sign | Больше | > | > | > | >, \textgreater | |
⩽ | U+2A7D | Less-than or slanted equal to | Меньше либо равно | ⩽ | ⩽ | нет | \leqslant | |
⩾ | U+2A7E | Greater-than or slanted equal to | Больше либо равно | ⩾ | ⩾ | нет | \geqslant | |
≤ | U+2264 | Less-than or equal to | Меньше либо равно | ≤ | ≤ | ≤ | \le, \leq | |
≥ | U+2265 | Greater-than or equal to | Больше либо равно | ≥ | ≥ | ≥ | \ge, \geq | |
≪ | U+226A | Much less-than | Много меньше | ≪ | ≪ | нет | \ll | |
≫ | U+226B | Much greater-than | Много больше | ≫ | ≫ | нет | \gg |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .