WikiSort.ru - Не сортированное

Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ . Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным^{[источник не указан 249 дней]} множеством.

Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.

Свойства

• Континуум является бесконечной мощностью (алефом), превосходящей мощность счётного множества ${\displaystyle \aleph _{0}}$ . Любое континуальное множество содержит счётное подмножество.
• Континуум — мощность булеана счётного множества.
• Континуум не меньше, чем мощность множества всех счётных ординалов ${\displaystyle \aleph _{1}}$ . Любое континуальное множество содержит подмножество мощности ${\displaystyle \aleph _{1}}$ . Предположение о том, что ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$ называется континуум-гипотезой.
• Мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых не более чем континуально, не превосходит континуума.
• При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, конфинальность континуума — несчётна.

Примеры

Примеры множеств, имеющих мощность континуум:

• Все точки отрезка ${\displaystyle [0,1]}$ .
• Все точки плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (или ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ), например — множество всех комплексных чисел.
• Множество всех иррациональных чисел.
• Множество всех трансцендентных чисел.
• Множество всех подмножеств счётного множества.
• Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
• Множество всех счётных множеств натуральных чисел.
• Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
• Множество всех непрерывных функций ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ .
• Множество всех открытых подмножеств плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (или ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ).
• Множество всех замкнутых подмножеств плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (или ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ).
• Множество всех борелевских подмножеств плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (или ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ).
• Канторово множество

Это заготовка статьи по теории множеств. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011 года.