Возведе́ние в сте́пень — бинарная операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием a и натуральным показателем b обозначается как
при этом — это количество множителей (умножаемых чисел).
Возведение в степень может быть определено также для отрицательных, рациональных, вещественных и даже комплексных степеней.
Число называется n-й степенью числа , если
Свойства:
Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.
Результат не определён при и .
По определению,
Результат не определён при и .
Для отрицательных в случае нечётного и чётного в результате вычисления степени получаются комплексные числа. См. подробнее Корень (математика).
Пусть — вещественные числа, причём — иррациональное число. Определим значение следующим образом.
Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для рациональный интервал с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов состоит из одной точки, которая и принимается за .
Другой подход основан на теории рядов и логарифмов (см. определение комплексной степени).
Потенцирование (от нем. potenzieren[К 1] — возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:
Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, возведение a в степень b может быть названо другими словами «потенцированием b по основанию a».
Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, .
Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив в экспоненциальной форме и используя тождество , где — комплексный логарифм:
Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.
Выражение (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:
можно записать короче:
В любом случае соглашение чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.
Поскольку в выражении используются два символа ( и ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций:
Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции , и для приближенного возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.
Запись обычно читается как «a в -ой степени» или «a в степени n». Например, читается как «десять в четвёртой степени», читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».
Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, читается как «десять в квадрате», читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо , древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[1].
В разговорной речи иногда говорят, например, что — это «a умноженное само на себя три раза»[2], имея в виду, что берётся три множителя . Это не совсем точно, и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: (три множителя, но две операции умножения). Часто когда говорят, «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть [3]. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение»[4].
В Европе сначала степень записывали как произведение — например, изображалось как Первые попытки сокращённой записи осуществили в XVII веке Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали в виде и соответственно[5]. Начиная с Декарта, степень обозначали «двухэтажной» записью вида .
С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**
», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «↑
» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^
» («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:
3^2=9
; 5^2=25
; 2^3=8
; 5^3=125
.Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).
Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень.
То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c
, как (a^b)^c
, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c)
,
как это принято в математике:
.
Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:
x ↑ y
: Алгол, некоторые диалекты Бейсика;x ^ y
: Бейсик, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX, bc[К 2], Haskell[К 3], Lua, MathML и большинство систем компьютерной алгебры;x ^^ y
: Haskell[К 4], D;x ** y
: Ада, Bash, Кобол, Фортран, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, PHP[К 5], Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell[К 6], Turing[en], VHDL, ECMAScript[К 7][К 8], AutoHotkey;x⋆y
: APL.Во многих языках программирования (например, в Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень и для этой цели используют функции.
^
, реализованной только как последовательное умножение.Math.pow(x,y)
.Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .