Многочле́н (или полино́м от греч. πολυ- «много» + лат. nomen «имя») от переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида
В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида
С помощью многочлена выводятся понятия «алгебраическое уравнение» и «алгебраическая функция».
Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».
С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.
Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.
Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов.
Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения многочленами свойств различных объектов.
Пусть есть алгебра над кольцом . Произвольный многочлен определяет полиномиальную функцию
Чаще всего рассматривают случай .
В случае, если есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены и из определяют тождественно равные функции .
Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией.
Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение многочленов делится на неприводимый многочлен , то p или q делится на . Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).
Например, многочлен , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.
Вообще, каждый многочлен от одного переменного разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).
Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого существуют многочлены от переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.
В этой статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .