WikiSort.ru - Не сортированное

Процедура Кэли — Диксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом), с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т.д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением.

Общий случай

Если для некоторых чисел ${\displaystyle \ a}$ и ${\displaystyle \ b}$ существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как ${\displaystyle \ |a|^{2}=a{\bar {a}}}$ (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел ${\displaystyle \ (a,b)}$ :

• ${\displaystyle \ (a,b)(c,d)=(ac-{\bar {d}}b,da+b{\bar {c}})}$  — закон умножения пар,

• ${\displaystyle \ {\overline {(a,b)}}=({\bar {a}},-b)}$  — сопряжённая пара.

Свойства

• (расширенная) норма упорядоченной пары:

${\displaystyle \ |(a,b)|^{2}=(a,b){\overline {(a,b)}}=(a,b)({\bar {a}},-b)=(a{\bar {a}}+b{\bar {b}},ba-ba)=(|a|^{2}+|b|^{2},0)=|a|^{2}+|b|^{2}}$  — равна нулю только при a = b = 0.

• Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление ${\displaystyle \ r/q}$ определяется как ${\displaystyle \ {\frac {r{\bar {q}}}{|q|^{2}}}}$ или ${\displaystyle \ {\frac {{\bar {q}}r}{|q|^{2}}}}$  — значит из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.

• Если для чисел выполняется ${\displaystyle \ {\overline {ab}}={\bar {b}}\cdot {\bar {a}},}$ это выполняется и для упорядоченных пар:

${\displaystyle \ {\overline {(a,b)(c,d)}}=({\bar {c}}{\bar {a}}-{\bar {b}}d,-da-b{\bar {c}})=({\bar {c}},-d)({\bar {a}},-b)={\overline {(c,d)}}\cdot {\overline {(a,b)}}.}$

• Если исходная алгебра ассоциативна, то расширенная алгебра нормирована, поскольку:

${\displaystyle \ |rq|^{2}=(rq){\overline {(rq)}}=(rq)({\bar {q}}{\bar {r}})=r(q{\bar {q}}){\bar {r}}=|r|^{2}\cdot |q|^{2}.}$

В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.

Приложения

Обобщения

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имела квадрат равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять^[1] как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда тогда норма и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.

Примечания

Ссылки

• Dickson, L. E. (1919), "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865 
• HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996–2006
• И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — Москва, "Наука". — 1973.
• Е.А. Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»