WikiSort.ru - Не сортированное

Экспоне́нта — показательная функция ${\displaystyle f(x)=\exp(x)=e^{x}}$ , где ${\displaystyle e}$  — число Эйлера ${\displaystyle (e\approx 2,718)}$ .

Определение

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

или через предел:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

Здесь ${\displaystyle x}$  — любое комплексное число.

Свойства

• ${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}$ , а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения ${\displaystyle y'=y}$ с начальными данными ${\displaystyle y(0)=1}$ . Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
• Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
• Экспонента — выпуклая функция.
• Обратная функция к ней — натуральный логарифм ${\displaystyle (\ln x)}$ .
• Фурье-образ экспоненты не существует.
• Однако преобразование Лапласа существует.
• Производная в нуле равна ${\displaystyle 1}$ , поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом ${\displaystyle 45^{\circ }~{\Big (}{\frac {\pi }{4}}{\Big )}}$ .
• Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:

  ${\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}$ .

  • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна ${\displaystyle 0}$ , либо имеет вид ${\displaystyle \exp(cx)}$ , где ${\displaystyle c}$  — некоторая константа.

• ${\displaystyle e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x}$ , где ${\displaystyle \operatorname {sh} }$ и ${\displaystyle \operatorname {ch} }$  — гиперболические синус и косинус.

Комплексная экспонента

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$ , где ${\displaystyle z}$ есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ вещественного переменного ${\displaystyle x}$ :

Определим формальное выражение

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}}$ .

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции ${\displaystyle e^{z}}$ , то есть показать, что ${\displaystyle e^{z}}$ разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

${\displaystyle f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Сходимость данного ряда легко доказывается:

${\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}}$ .

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$ . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция ${\displaystyle e^{z}}$ всюду определена и аналитична.

Вариации и обобщения

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Обратная функция

Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается ${\displaystyle \ln x}$ :

${\displaystyle \ln x=\log _{e}x.}$

См. также

• Показательная функция
• Список интегралов от экспоненциальных функций

Литература

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Ссылки

• "Экспонента и число е: просто и понятно" — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained (англ.)

Примечания