WikiSort.ru - Не сортированное

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области ${\displaystyle D}$ , достигает своего максимума и минимума только на границе ${\displaystyle \partial D}$ . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в ${\displaystyle D}$ функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать ${\displaystyle \forall m\in D\inf _{Q\in D}U(Q)<U(m)<\sup _{Q\in D}U(Q)}$

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего

Если функция ${\displaystyle u}$ гармонична в некотором шаре ${\displaystyle B(x_{0})}$ с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , то её значение в точке ${\displaystyle x_{0}}$ равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

${\displaystyle u(x_{0})={\frac {1}{\mu (\partial B)}}\int \limits _{\partial B}udS={\frac {1}{\mu (B)}}\int \limits _{B}udV}$

где ${\displaystyle \mu (B)}$  — объём шара ${\displaystyle B(x_{0})}$ и ${\displaystyle \mu (\partial B)}$  — площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака

Если функция ${\displaystyle U(M)=U(x_{1},...x_{k})}$ , гармоническая в к-мерном шаре ${\displaystyle Q_{r}}$ радиуса ${\displaystyle R}$ с центром в некоторой точке ${\displaystyle M_{0}}$ , неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках ${\displaystyle M}$ внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: ${\displaystyle {{R^{k-2}}{\frac {R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_{0})}\leq {U(M)}\leq {R^{k-2}{\frac {R+r}{(R-r)^{k-1}}}U(M_{0})}}$ , где ${\displaystyle r=\rho (M_{0},M)<R}$ ^[1].

Теорема Гарнака

Пусть ${\displaystyle v_{n}(z)}$  — положительные гармонические функции в некоторой области ${\displaystyle D}$ . Если ряд ${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }v_{n}(z)}$ сходится хотя бы в одной точке области ${\displaystyle D}$ , то он равномерно сходится внутри ${\displaystyle D}$ .