WikiSort.ru - Не сортированное

Эту статью следует сделать более понятной широкому кругу читателей. Пожалуйста, попытайтесь изложить эту статью так, чтобы она была понятна неспециалисту. Вам могут помочь советы в этом эссе. Подробности могут быть на странице обсуждения.

Эта статья нуждается в переработке. Обсуждение здесь. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала)^[1].

Определение

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ определена на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ . Разобьём ${\displaystyle [a;b]}$ на части несколькими произвольными точками: ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$ .

Тогда говорят, что произведено разбиение ${\displaystyle R}$ отрезка ${\displaystyle [a;b].}$ Далее выберем произвольную точку ${\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]}$ , ${\displaystyle i={\overline {0,n-1}}}$ .

Определённым интегралом от функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ называется предел интегральных сумм при стремлении ранга

разбиения к нулю ${\displaystyle \lambda _{R}\rightarrow 0}$ , если он существует независимо от разбиения ${\displaystyle R}$ и выбора точек ${\displaystyle \xi _{i}}$ , то есть

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim \limits _{\Delta x\rightarrow 0}\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$

Если существует указанный предел, то функция ${\displaystyle f(x)}$ называется интегрируемой на ${\displaystyle [a;b]}$ по Риману.

Обозначения

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$

• ${\displaystyle a}$  — нижний предел.
• ${\displaystyle b}$  — верхний предел.
• ${\displaystyle f(x)}$  — подынтегральная функция.
• ${\displaystyle \Delta x_{i}}$  — длина частичного отрезка.
• ${\displaystyle \sigma _{R}}$  — интегральная сумма от функции ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle [a;b]}$ соответствующей разбиению ${\displaystyle R}$ .
• ${\displaystyle \lambda _{R}=\sup {\Delta x_{i}}}$  — максимальная из длин частичных отрезков.

Свойства

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема по Риману на ${\displaystyle [a;b]}$ , то она ограничена на нем.

Геометрический смысл

Определённый интеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$ численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми ${\displaystyle x=a}$ и ${\displaystyle x=b}$ и графиком функции ${\displaystyle f(x)}$ .

Примеры вычислений

Далее приведены примеры взятий определенных интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

1. ${\displaystyle \int \limits _{8}^{9}x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}{\Big |}_{8}^{9}={\frac {729}{3}}-{\frac {512}{3}}={\frac {217}{3}}=72{,}(3)\approx 72{,}3}$
2. ${\displaystyle \int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\ln x{\Big |}_{1}^{b}=\ln b}$
3. ${\displaystyle \int \limits _{1}^{4}{\frac {2dx}{x}}=2\ln x{\Big |}_{1}^{4}\approx 2{,}8}$

Примечания

Литература

• Интеграл — статья из Большой советской энциклопедии. 

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.