WikiSort.ru - Не сортированное

Произво́дная функция — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Ньютон называл производную флюксией, школа Лейбница предпочитала в качестве базового понятия дифференциал^[1].

Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил В. И. Висковатов, переведя на русский язык соответствующий французский термин dérivée, используемый Лагранжем^[2].

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ определена функция ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ Производной функции называется такое число ${\displaystyle A}$ , что функцию в окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ можно представить в виде

${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)}$

если ${\displaystyle A}$ существует.

Таблица производных

Производные степенных функций	Производные тригонометрических функций	Производные обратных тригонометрических функций
${\displaystyle \left(c\right)'=0}$	${\displaystyle \left(\sin x\right)'=\cos x}$	${\displaystyle \left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}}$	${\displaystyle \left(\cos x\right)'=-\sin x}$	${\displaystyle \left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a}$	${\displaystyle \left(\operatorname {tg} x\right)'={\dfrac {1}{\cos ^{2}x}}}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle \left(\log _{a}x\right)'={\dfrac {1}{x\ln a}}}$	${\displaystyle \left(\operatorname {ctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{\sin ^{2}x}}}$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle \left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)}$
${\displaystyle \left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}}$

Дифференцируемость

Производная ${\displaystyle f'(x_{0})}$ функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция ${\displaystyle f}$ является дифференцируемой в точке ${\displaystyle x_{0}}$ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).}$

Для дифференцируемой в ${\displaystyle x_{0}}$ функции ${\displaystyle f}$ в окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ справедливо представление

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}.}$

Замечания

• Назовём ${\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}$ приращением аргумента функции, а ${\displaystyle \Delta y=f(x)-f(x_{0})}$ или ${\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$ приращением значения функции в точке ${\displaystyle x_{0}.}$ Тогда

  ${\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

• Пусть функция ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }$ имеет конечную производную в каждой точке ${\displaystyle x_{0}\in (a,b).}$ Тогда определена произво́дная фу́нкция

  ${\displaystyle f'\colon (a,b)\to \mathbb {R} .}$

• Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
• Если производная функция сама является непрерывной, то функцию ${\displaystyle f}$ называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: ${\displaystyle f\in C^{(1)}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.}$

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Основная статья: Касательная прямая

Если функция ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R} }$ имеет конечную производную в точке ${\displaystyle x_{0},}$ то в окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ её можно приблизить линейной функцией

${\displaystyle f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}$

Функция ${\displaystyle f_{l}}$ называется касательной к ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}.}$ Число ${\displaystyle f'(x_{0})}$ является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть ${\displaystyle s=s(t)}$  — закон прямолинейного движения. Тогда ${\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})}$ выражает мгновенную скорость движения в момент времени ${\displaystyle t_{0}.}$ Вторая производная ${\displaystyle a(t_{0})=s''(t_{0})}$ выражает мгновенное ускорение в момент времени ${\displaystyle t_{0}.}$

Вообще производная функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ выражает скорость изменения функции в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью ${\displaystyle y=f(x).}$

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

${\displaystyle f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0}).}$

Если функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема в ${\displaystyle x_{0}}$ , то производная первого порядка определяется соотношением

${\displaystyle f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).}$

Пусть теперь производная ${\displaystyle n}$ -го порядка ${\displaystyle f^{(n)}}$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ и дифференцируема. Тогда

${\displaystyle f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).}$

Если функция ${\displaystyle u=f(x,y,z)}$ имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от ${\displaystyle x,y,z,}$   может иметь в некоторой точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции ${\displaystyle u=f(x,y,z)}$ эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

${\displaystyle u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})}$   или  ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}$   или  ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}}$

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

${\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}$

Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

• Лагранжа ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})}$ , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

${\displaystyle f^{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),}$

${\displaystyle f^{(2)}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{II}(x_{0}),}$

${\displaystyle f^{(3)}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{III}(x_{0}),}$

${\displaystyle f^{(4)}(x_{0})=f^{IV}(x_{0}),}$ и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

• Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если ${\displaystyle x}$  — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

${\displaystyle {\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})}$

• Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

${\displaystyle {\dot {x}}(t_{0})}$  — производная первого порядка ${\displaystyle x}$ по ${\displaystyle t}$ при ${\displaystyle t=t_{0}}$ , или ${\displaystyle {\ddot {f}}(x_{0})}$  — вторая производная ${\displaystyle f}$ по ${\displaystyle x}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и т. д.

• Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:

${\displaystyle \mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})}$ , или иногда ${\displaystyle \partial ^{n}\!f(x_{0})}$ .

• В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение ${\displaystyle f_{x}}$ , ${\displaystyle f_{xx}}$ ; для значения производной в точке — ${\displaystyle f_{x}\vert _{x=x_{0}}}$ . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})={\overset {\overbrace {\cdot \cdot ...\cdot } ^{n\ \mathrm {PA} 3}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ \mathrm {PA} 3}}\vert _{x=x_{0}}.}$

Примеры

• Пусть ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ . Тогда

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.}$

• Пусть ${\displaystyle f(x)=|x|}$ . Тогда если ${\displaystyle x_{0}\neq 0,}$ то

${\displaystyle f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},}$

где ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ обозначает функцию знака. А если ${\displaystyle x_{0}=0,}$ то ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,}$ а следовательно ${\displaystyle f'(x_{0})}$ не существует.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если ${\displaystyle C}$  — постоянное число и ${\displaystyle f=f(x),g=g(x)}$  — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

• ${\displaystyle C'=0}$
• ${\displaystyle x'=1}$
• ${\displaystyle \left(f+g\right)'=f'+g'}$ ^[3]

• ${\displaystyle \left(fg\right)'=f'g+fg'}$ ^[4]

• ${\displaystyle \left(Cf\right)'=Cf'}$
• ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ …(g ≠ 0)

• ${\displaystyle \left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}}$ (g ≠ 0)
• Если функция задана параметрически:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.}$ , то ${\displaystyle y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}}$

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_{g}g'_{x}}$
• Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}$ где ${\displaystyle C_{n}^{k}}$  — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

• если функция дифференцируема на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ , то она непрерывна на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ . Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция ${\displaystyle y(x)=|x|}$ на ${\displaystyle [-1,1]}$ );
• если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном ${\displaystyle x}$ , то ${\displaystyle f'(x)=0}$ (это так называемая лемма Ферма);
• производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
• ${\displaystyle (f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)}$

Таблица производных некоторых функций

Функция ${\displaystyle f(x)}$	Производная ${\displaystyle f'(x)}$	Примечание
${\displaystyle x^{\alpha }}$	${\displaystyle \alpha \cdot x^{\alpha -1}}$	Доказательство                                  Фиксируем ${\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}$ , придадим приращение аргументу ${\displaystyle \Delta x}$ . Вычислим приращение функции: ${\displaystyle \Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)}$ , т.о ${\displaystyle (x^{\alpha })'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)}{\Delta x}}=}$ См.${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x}}}{\Delta x}}=\alpha \cdot x^{\alpha -1}}$
${\displaystyle a^{x}}$	${\displaystyle a^{x}\cdot \ln {a}}$	Доказательство                                  Фиксируем ${\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}$ , придадим приращение аргументу ${\displaystyle \Delta x}$ . Вычислим приращение функции: ${\displaystyle \Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)}$ , т.о ${\displaystyle (a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=}$ См.${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}}$
${\displaystyle \log _{a}{x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \cos x}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\sin x}$
${\displaystyle \mathrm {tg} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}}$
${\displaystyle \mathrm {ctg} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}}$
${\displaystyle \arcsin {x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos {x}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arctg} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcctg} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {sh} \ x}$	${\displaystyle \mathrm {ch} \ x}$
${\displaystyle \mathrm {ch} \ x}$	${\displaystyle \mathrm {sh} \ x}$
${\displaystyle \mathrm {th} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}}$
${\displaystyle \mathrm {cth} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}}$

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ по параметру:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}}$ .

Если производная в точке ${\displaystyle t}$ существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут ${\displaystyle x'(t),\ y'(t),\ z'(t)}$ .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$  — производная суммы есть сумма производных.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}}$  — здесь ${\displaystyle f(t)}$  — дифференцируемая скалярная функция.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$  — дифференцирование скалярного произведения.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]}$  — дифференцирование векторного произведения.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)}$  — дифференцирование смешанного произведения.

Способы задания производных

• Производная Джексона^[5]:

${\displaystyle D_{x}^{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}$

Вариации и обобщения

• Обобщения производных
  • Дробная производная
  • Производная Пеано
  • Частная производная

См. также

• Таблица производных
• Производная (математика)
• Дифференцирование сложной функции
• Производная обратной функции
• Дифференцируемая функция
• Основная теорема анализа
• Геометрический смысл производной
• Производная по направлению

Примечания

Литература

• Виленкин Н., Мордкович А. Что такое производная // Квант. — 1975. — № 12.
• В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
• В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

Ссылки

• Онлайн калькулятор производных с подробным пошаговым решением на русском языке
• Таблица производных
• "Что такое производная — на примере с банковским счётом" — перевод статьи Understanding Calculus With A Bank Account Metaphor | BetterExplained (англ.)