Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.
Евклидова геометрия
Пусть дан треугольник Тогда причём равенство достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка лежит строго между и .
Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.
Нормированное пространство
Пусть — нормированное векторное пространство, где — произвольное множество, а — определённая на норма. Тогда по определению последней справедливо:
Гильбертово пространство
В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.
Метрическое пространство
Пусть — метрическое пространство, где — произвольное множество, а — определённая на метрика. Тогда по определению последней
Вариации и обобщения
Обратное неравенство треугольника
Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:
Неравенство треугольника для трёхгранного угла
Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Произвольное число точек
Обозначим расстояние между точками и . Тогда имеет место следующее неравенство: . Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: [1]
См. также
Примечания
- ↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 28
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .