Теоре́ма Фробе́ниуса — одна из теорем общей алгебры. Теорема утверждает, что при некоторых естественных предположениях (конечномерность, см. ниже) всякое тело (в частности, поле), расширяющее поле вещественных чисел :
Эта теорема была доказана Ф. Г. Фробениусом в 1877 году.
Пусть — тело, содержащее в качестве подтела тело вещественных чисел, причём выполняются два условия:
Другими словами, является конечномерной алгеброй с делением[1] над полем вещественных чисел.
Теорема Фробениуса утверждает, что всякое такое тело :
Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям . Например, она не охватывает поле гипервещественных чисел нестандартного анализа, которое тоже является расширением , но не конечномерным. Другой пример — алгебра рациональных функций.
Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса.
Алгебра размерности n над полем комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над . Тело кватернионов не является алгеброй над полем , так как центром является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над является алгебра .
В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве Rn нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.
Если при n>1 в пространстве Rn определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере Sn-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей[2]. Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере[en], следует, что это возможно только для сфер S1, S3, S7. Это доказывает гипотезу Фробениуса.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .