Коне́чное расшире́ние — расширение поля , такое, что конечномерно над как векторное пространство. Размерность векторного пространства над называется степенью расширения и обозначается .
Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть , так как для любого элемента набор из элементов не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над степени не выше , такой, что является его корнем.
Простое алгебраическое расширение является конечным. Если неприводимый многочлен над имеет степень , то .
В башне полей , поле конечно над тогда и только тогда, когда конечно над и конечно над . Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если — базис над и — базис над то — базис над , отсюда .
Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса . Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, . Элементы будучи алгебраическими над остаются таковыми и над бо́льшим полем . Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.
Если конечно, то для любого расширения то, (если и содержатся в каком-нибудь поле) композит полей является конечным расширением ).
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .