WikiSort.ru - Не сортированное

Классическая механика

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

${\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i},}$

соответственно величина ${\displaystyle {\vec {p}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}}$ называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Если мы имеем дело с телом конечного размера, не состоящим из дискретных материальных точек, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками, и просуммировать по ним, в результате получим:

${\displaystyle {\vec {p}}=\int \rho (x,y,z){\vec {v}}(x,y,z)dxdydz.}$

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=0.}$ (*)

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).

Релятивистская механика

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

${\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {v}}_{i}}{\sqrt {1-v_{i}^{2}/c^{2}}}},}$

где ${\displaystyle m_{i}}$  — масса ${\displaystyle i}$ -й материальной точки, ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ — её скорость.

Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

${\displaystyle p_{\mu }=(E/c,{\vec {p}})=\left({\frac {m_{0}c}{\sqrt {1-v_{i}^{2}/c^{2}}}},{\frac {m_{0}{\vec {v}}}{\sqrt {1-v_{i}^{2}/c^{2}}}}\right).}$

На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

${\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} ^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {p} ={\frac {E}{c^{2}}}\,\mathbf {v} .}$

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Обобщённый импульс в электромагнитном поле

В электромагнитном поле обобщённый импульс частицы равен:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {A} }$  — векторный потенциал электромагнитного поля.

Формальное определение

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

${\displaystyle {\hat {\mathbf {P} }}=\sum _{j}{\hat {\mathbf {p} }}_{j}=\sum _{j}-i\hbar \nabla _{j},}$

где ${\displaystyle \nabla _{j}}$  — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам ${\displaystyle j}$ -ой частицы. Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {\mathbf {p} }}_{i}^{2}+U(\mathbf {r_{1}} ,\dots ).}$

Для замкнутой системы (${\displaystyle U=0}$ ) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны ${\displaystyle \lambda }$ :

${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }},}$

где ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью ${\displaystyle v\ll c}$ (скорости света), модуль импульса равен ${\displaystyle p=mv}$ (где ${\displaystyle m}$  — масса частицы), и

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}.}$

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {k}}=\hbar {\vec {k}},}$

где ${\displaystyle {\vec {k}}}$  — волновой вектор.