WikiSort.ru - Не сортированное

Разложение в ряд Тейлора

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots ,}$ при ${\displaystyle |x|\leqslant 1}$ .

Грубая оценка

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем ${\displaystyle {\sqrt {S}}\approx 2\cdot 10^{n}.}$

Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем ${\displaystyle {\sqrt {S}}\approx 6\cdot 10^{n}.}$

Два и шесть используются потому, что ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {1\cdot 10}}}={\sqrt[{4}]{10}}\approx 2}$ и ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {10\cdot 100}}}={\sqrt[{4}]{1000}}\approx 6\,.}$

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку ${\displaystyle 2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor }}$ (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня

${\displaystyle |BH|={\sqrt {|AH|\cdot |HC|}}}$

В частности, если ${\displaystyle |AH|=1}$ , а ${\displaystyle |HC|=x}$ , то ${\displaystyle |BH|={\sqrt {x}}}$ ^[9]

Итерационный аналитический алгоритм

Последовательные приближения рассчитываются по формуле: ${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}=a\\x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\end{cases}}}$ тогда ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {a}}}$

Этот метод сходится очень быстро. Например, если для ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ взять начальное приближение ${\displaystyle x_{0}=2,}$ то получим:

${\displaystyle x_{1}={\frac {9}{4}}=2{,}25;\ x_{2}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{3}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779.}$

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234,567 можно представить, как 03 12 34, 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

1. Записать число N (в примере — 69696) на листке.
2. Найти ${\displaystyle a}$ , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат ${\displaystyle a+1}$ больше группы старших разрядов числа. Записать найденное ${\displaystyle a}$ справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера ${\displaystyle a^{2}=2^{2}=2\cdot 2=4<6}$ , а ${\displaystyle (a+1)^{2}=3^{2}=3\cdot 3=9>6}$ ).
3. Записать квадрат ${\displaystyle a}$ под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа ${\displaystyle a}$ и записать результат вычитания под ними.
4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число ${\displaystyle b}$ . (На первом шаге примера это число просто есть ${\displaystyle b=2\cdot 20=40}$ , на втором ${\displaystyle b=26\cdot 20=520}$ ).
5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем ${\displaystyle c}$ число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число ${\displaystyle c=296}$ , на втором ${\displaystyle c=2096}$ ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
6. Теперь нужно найти такое ${\displaystyle a}$ , что ${\displaystyle (b+a)\cdot a}$ меньше или равно ${\displaystyle c}$ , но ${\displaystyle (b+(a+1))\cdot (a+1)}$ больше, чем ${\displaystyle c}$ . Записать найденное ${\displaystyle a}$ справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что ${\displaystyle a}$ окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как ${\displaystyle (40+6)\cdot 6=46\cdot 6=276<296}$ , но ${\displaystyle (40+7)\cdot 7=47\cdot 7=329>296}$ ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
7. Записать число ${\displaystyle (b+a)\cdot a}$ под ${\displaystyle c}$ . Провести вычитание столбиком числа ${\displaystyle (b+a)\cdot a}$ из ${\displaystyle c}$ и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма: