WikiSort.ru - Не сортированное

Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$

над полем K — это элемент ${\displaystyle c\in K}$ (либо элемент расширения поля K), такой, что выполняются два следующих равносильных условия:

• данный многочлен делится на многочлен ${\displaystyle x-c}$ ;
• подстановка элемента c вместо x обращает уравнение

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0}$

в тождество.

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Говорят, что корень ${\displaystyle c}$ имеет кратность ${\displaystyle m}$ , если рассматриваемый многочлен делится на ${\displaystyle (x-c)^{m}}$ и не делится на ${\displaystyle (x-c)^{m+1}.}$ Например, многочлен ${\displaystyle x^{2}-2x+1}$ имеет единственный корень, равный ${\displaystyle 1,}$ кратности 2. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.

Свойства

• Число корней многочлена степени ${\displaystyle n}$ не превышает ${\displaystyle n}$ даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.
• Всякий многочлен ${\displaystyle p(x)}$ с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры) .
  • Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).
  • Более того, многочлен с вещественными коэффициентами ${\displaystyle p(x)}$ можно записать в виде

${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),}$

где ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}$  — (в общем случае комплексные) корни многочлена ${\displaystyle p(x)}$ , возможно с повторениями, при этом если среди корней ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}$ многочлена ${\displaystyle p(x)}$ встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.

• Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени ${\displaystyle n}$ , учитывая кратные корни кратное количество раз, равно ${\displaystyle n}$ . При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
• Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени^[en] и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов, было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году^[1]. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов, корни уравнения всё же могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм^[en].

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона, Метод Лобачевского — Греффе. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть определено при помощи теоремы Штурма.

См. также

• Схема Горнера
• Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени.
• Нуль функции

Примечания

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 19 июня 2018 года.