WikiSort.ru - Не сортированное

Геометрические свойства

Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица ${\displaystyle 1+0i.}$ Вещественных корней может быть либо два, если ${\displaystyle n}$ чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если ${\displaystyle n}$ нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если ${\displaystyle u_{k}}$  — корень из единицы, то сопряжённое к нему число ${\displaystyle {\overline {u_{k}}}}$  — тоже корень из единицы.

Пусть M — произвольная точка единичной окружности и ${\displaystyle n>1.}$ Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней ${\displaystyle n-}$ й степени из единицы равна ${\displaystyle 2n}$ ^[3].

Алгебраические свойства

• Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.
• Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка ${\displaystyle n}$ . В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единица.
• Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ . Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент ${\displaystyle u_{k}}$ , индекс ${\displaystyle k}$ которого взаимно прост с ${\displaystyle n}$ .
  • Следствия:
    • элемент ${\displaystyle u_{1}}$ всегда является первообразным;
    • если ${\displaystyle n}$  — простое число, то степени любого корня, кроме ${\displaystyle \pm 1}$ , охватывают всю группу;
    • число первообразных корней равно ${\displaystyle \varphi (n)}$ , где ${\displaystyle \varphi }$  — функция Эйлера.
• Если ${\displaystyle n>1}$ , то для суммы степеней любого первообразного корня из единицы ${\displaystyle u}$ имеет место формула:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0.}$

• ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n\qquad (n>1)}$

Примеры

Кубические корни из единицы:

${\displaystyle \left\{1;\ {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}}$

Корни 4-й степени из единицы:

${\displaystyle \left\{1;\ +i;\ -1;\ -i\right\}}$

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента:

${\displaystyle \left\{e^{2\pi ik \over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\right|u,v\in \{-1,1\}\right\}.}$

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два:

${\displaystyle \left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}$