WikiSort.ru - Не сортированное

Определение

Пусть ${\displaystyle f(z)}$  — комплекснозначная функция в области ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ , регулярная в некоторой проколотой окрестности точки ${\displaystyle a\in D}$ .

Вычетом функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle a}$ называется число

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)=\lim _{\rho \to 0}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z-a|=\rho }\!f(z)\,dz}$ .

В силу голоморфности функции ${\displaystyle f(z)}$ в малой проколотой окрестности точки ${\displaystyle a}$ по теореме Коши величина интеграла не зависит от ${\displaystyle \rho }$ при достаточно малых значениях этого параметра, так же как и от формы пути интегрирования. Важно только то, что путь является замкнутой кривой в области аналитичности функции, один раз охватывающей рассматриваемую точку и никаких других точек не принадлежащих области голоморфности ${\displaystyle f}$ .

В некоторой окрестности точки ${\displaystyle a}$ функция ${\displaystyle f(z)}$ представляется сходящимся рядом Лорана по степеням ${\displaystyle z-a}$ . Нетрудно показать, что вычет совпадает с коэффициентом ряда ${\displaystyle c_{-1}}$ при ${\displaystyle (z-a)^{-1}}$ . Часто это представление принимают за определение вычета функции.

Способы вычисления вычетов

Согласно определению вычет может быть вычислен как контурный интеграл, однако в общем случае это довольно трудоёмко. Поэтому на практике пользуются, в основном, следствиями из определения:

• В устранимой особой точке ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ , так же как и в точке регулярности, вычет функции ${\displaystyle f(z)}$ равен нулю. В то же время для бесконечно удалённой точки это утверждение не верно. Например, функция ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ имеет в бесконечности нуль первого порядка, однако, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,{\frac {1}{z}}=-1}$ . Причина этого в том, что форма ${\displaystyle {\frac {dz}{z}}}$ имеет особенность как в нуле, так и в бесконечности.

• В полюсе ${\displaystyle a}$ кратности ${\displaystyle n}$ вычет может быть вычислен по формуле:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{{d^{(n-1)} \over dz^{(n-1)}}[(z-a)^{n}f(z)]}}$ ,

частный случай ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)=\lim _{z\to a}{(z-a)f(z)}}$ .

• Если функция ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$ имеет простой полюс в точке ${\displaystyle a}$ , где ${\displaystyle g(z)}$ и ${\displaystyle h(z)}$ голоморфные в окрестности ${\displaystyle a}$ функции, ${\displaystyle h(a)=0}$ , ${\displaystyle h'(a)\neq 0}$ , то можно использовать более простую формулу:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a)}}}$ .

• Очень часто, особенно в случае существенно особых точек, удобно вычислять вычет пользуясь разложением функции в ряд Лорана. Например, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{0}\,e^{1/z}=\mathop {\mathrm {Res} } _{0}\,\left(1+{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1}$ , так как коэффициент при ${\displaystyle z^{-1}}$ равен 1.

Вычисления определённых интегралов от тригонометрических функций

Пусть функция ${\displaystyle R(u,\;v)}$  — рациональная функция переменных ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ . Для вычисления интегралов вида ${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }R\!(\sin \varphi ;\;\cos \varphi )\,d\varphi }$ удобно использовать формулы Эйлера. Положив, что ${\displaystyle z=e^{i\varphi }}$ , и произведя соответствующие преобразования, получим:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum \mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}R(z)}$ .

Вычисление несобственных интегралов

Для вычисления несобственных интегралов с применением теории вычетов используют следующие две леммы:

1. Пусть функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в верхней полуплоскости ${\displaystyle I^{+}=\{z\mid \operatorname {Im} \,z\geqslant 0\}}$ и на вещественной оси за исключением конечного числа ${\displaystyle n}$ полюсов, не лежащих на вещественной оси и ${\displaystyle \lim _{z\to \infty }zf(z)=0}$ . Тогда

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}f(z)}$ .

2. Пусть функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в верхней полуплоскости ${\displaystyle I^{+}=\{z\mid \operatorname {Im} \,z\geqslant 0\}}$ и на вещественной оси за исключением конечного числа ${\displaystyle n}$ полюсов, не лежащих на вещественной оси, ${\displaystyle \lim _{z\to \infty }zf(z)=0}$ и ${\displaystyle \alpha >0}$ . Тогда

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!f(x)e^{i\alpha x}\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}f(z)e^{i\alpha z}}$

При этом интегралы в левых частях равенств не обязаны существовать и поэтому понимаются только лишь в смысле главного значения (по Коши).

Форма-вычет и класс-вычет

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Локальный вычет

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Вычетный поток

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.