WikiSort.ru - Не сортированное

Непрерывность

Пусть ${\displaystyle (\mathbb {M} ,\rho )}$  — метрическое пространство и ${\displaystyle \mathbb {} A}$  — сжимающий оператор на ${\displaystyle \mathbb {M} }$ . Тогда ${\displaystyle \mathbb {} A}$  — непрерывная функция на ${\displaystyle \mathbb {M} }$ .

Доказательство

Возьмём произвольный элемент ${\displaystyle {a}\in \mathbb {M} }$ . Надо доказать (по определению непрерывности функции), что для ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0:}$ для ${\displaystyle \forall {x}\in \mathbb {M} :\rho (a,x)<\delta \to {\rho (Aa,Ax)<\varepsilon }}$ . Для сжимающего оператора достаточно взять ${\displaystyle \delta =\varepsilon :\rho (Aa,Ax)\leqslant \alpha \cdot {\rho (a,x)<\alpha \cdot \delta =\alpha \cdot \varepsilon <\varepsilon }}$ .

Неподвижная точка

По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

${\displaystyle \mathbb {} x^{*}:Ax^{*}=x^{*}}$ .

Итерационная последовательность

Если взять произвольный элемент метрического пространства ${\displaystyle x}$ и рассмотреть последовательность элементов ${\displaystyle x,Ax,A^{2}x,....}$ , то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке оператора ${\displaystyle A}$ .