WikiSort.ru - Не сортированное

Преобразование Фурье (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде суммы музыкальных звуков, которые его составляют).

Преобразование Фурье функции ${\displaystyle f}$ вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\omega }\,dx.}$

Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «−» в показателе экспоненты. Но все свойства будут те же, хотя вид некоторых формул может измениться.

Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия (см. ниже).

Свойства

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса ${\displaystyle L_{1}(\mathbb {R} )}$ , преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

• Преобразование Фурье является линейным оператором:

${\displaystyle {\widehat {(\alpha f+\beta g)}}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.}$

• Справедливо равенство Парсеваля: если ${\displaystyle f\in L_{1}(\mathbb {R} )\cap L_{2}(\mathbb {R} )}$ , то преобразование Фурье сохраняет ${\displaystyle L_{2}}$ -норму:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{\hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .}$

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} )}$ . Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех ${\displaystyle f\in L_{2}(\mathbb {R} )}$ .

• Формула обращения:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ix\omega }\,d\omega }$

справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция ${\displaystyle f}$ является достаточно гладкой. Если ${\displaystyle f\in L_{2}(\mathbb {R} )}$ , то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний ${\displaystyle e^{i\omega x}}$ с частотами ${\displaystyle \omega }$ , амплитудами ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}|{\hat {f}}(\omega )|}$ и фазовыми сдвигами ${\displaystyle \arg {\hat {f}}(\omega )}$ соответственно.

• Теорема о свёртке: если ${\displaystyle f,\;g\in L_{1}(\mathbb {R} )}$ , тогда

${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}={\sqrt {2\pi }}{\widehat {f}}{\widehat {g}}}$ , где

${\displaystyle (f\ast g)(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t-s)g(s)\,ds.}$

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и дифференцирование. Если ${\displaystyle f,\;f'\in L_{1}(\mathbb {R} )}$ , то

${\displaystyle {\widehat {(f')}}=i\omega {\widehat {f}}.}$

Из этой формулы легко выводится формула для ${\displaystyle n}$ -й производной:

${\displaystyle {\widehat {(f^{(n)})}}=(i\omega )^{n}{\widehat {f}}.}$

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и сдвиг.

${\displaystyle {\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(\omega ).}$

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией ${\displaystyle \delta (x-x_{0})}$ , а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

• Преобразование Фурье и растяжение.

${\displaystyle {\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(\omega /a).}$

• Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

${\displaystyle S(\mathbb {R} ):=\left\{\varphi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ):\forall n,\;m\in \mathbb {N} \;x^{n}\varphi ^{(m)}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.}$

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство ${\displaystyle S^{*}(\mathbb {R} )}$ . Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции ${\displaystyle f\in S^{*}(\mathbb {R} )}$ её преобразованием Фурье называется обобщённая функция ${\displaystyle {\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb {R} )}$ , действующая на основные функции по правилу

${\displaystyle \langle {\hat {f}},\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi }}\rangle .}$

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:

${\displaystyle \langle {\hat {\delta }},\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi }}\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\;\varphi \right\rangle .}$

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ .

Применения

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства (time domain) в частотное пространство (frequency domain). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина).
• Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
• Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо).
• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
• Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).

Разновидности

Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где ${\displaystyle \omega }$  — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция ${\displaystyle f}$ является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции ${\displaystyle F}$ представляет амплитуды соответствующих частот (${\displaystyle \omega }$ ), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Важные формулы

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье ${\displaystyle F(\omega )}$ и ${\displaystyle G(\omega )}$ обозначают Фурье компоненты функций ${\displaystyle f(t)}$ и ${\displaystyle g(t)}$ , соответственно. ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Соотношения в этой таблице и в особенности множители, такие как ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ , зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

	Функция	Образ	Примечания
1	${\displaystyle af(t)+bg(t)}$	${\displaystyle aF(\omega )+bG(\omega )}$	Линейность
2	${\displaystyle f(t-a)}$	${\displaystyle e^{-i\omega a}F(\omega )}$	Запаздывание
3	${\displaystyle e^{iat}f(t)}$	${\displaystyle F(\omega -a)}$	Частотный сдвиг
4	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	Если ${\displaystyle a}$ большое, то ${\displaystyle f(at)}$ сосредоточена около 0 и ${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$ становится плоским
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}F(\omega )}$	Свойство преобразования Фурье от ${\displaystyle n}$ -й производной
6	${\displaystyle t^{n}f(t)}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}}$	Это обращение правила 5
7	${\displaystyle (f*g)(t)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )}$	Запись ${\displaystyle f*g}$ означает свёртку ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ . Это правило — теорема о свёртке
8	${\displaystyle f(t)g(t)}$	${\displaystyle {\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}}$	Это обращение 7
9	${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle \delta (t)}$ означает дельта-функцию Дирака
10	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )}$	Обращение 9.
11	${\displaystyle t^{n}}$	${\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )}$	Здесь, ${\displaystyle n}$  — натуральное число, ${\displaystyle \delta ^{(n)}(\omega )}$  — ${\displaystyle n}$ -я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12	${\displaystyle e^{iat}}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)}$	Следствие 3 и 10
13	${\displaystyle \cos(at)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}}$	Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера ${\displaystyle \cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)}$
14	${\displaystyle \sin(at)}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}}$	Также из 1 и 12
15	${\displaystyle \exp(-at^{2})}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)}$	Показывает, что функция Гаусса ${\displaystyle \exp(-t^{2}/2)}$ совпадает со своим изображением
16	${\displaystyle W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)}$	${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)}$	Прямоугольная функция — идеальный фильтр нижних частот и функция sinc(x) — её временной эквивалент
17	${\displaystyle {\frac {1}{t}}}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )}$	Здесь ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\omega )}$  — функция sgn. Это правило согласуется с 6 и 10
18	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n}}}}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn} (\omega )}$	Обобщение 17
19	${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}}$	Обращение 17
20	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\theta (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )}$	Здесь ${\displaystyle \theta (t)}$  — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

См. также

• Ортогональные функции
• Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
• Вейвлет
• Чирплет
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Гильбертово пространство

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
• Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
• Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. — М.: СОЛОН-Пресс, 2005. — С. 576. — ISBN 5-980-03206-1.
• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
• М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-983-40121-1.

Ссылки

• Интегральные преобразования EqWorld: Мир математических уравнений
• Online Computation of the transform or inverse transform
• «Преобразование Фурье» — перевод статьи An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained (англ.)
• Рональд Н. Брейсуэлл. Преобразование Фурье. Scientific American. В мире науки. № 8, 1989, стр. 48–56

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.