WikiSort.ru - Не сортированное

Ассоциати́вная опера́ция — это бинарная операция ${\displaystyle \circ }$ , обладающая ассоциативностью (лат. associatio — соединение), или сочетательностью:

${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$ для любых элементов ${\displaystyle x,\;y,\;z}$ .

Для ассоциативной операции результат вычисления ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение ${\displaystyle x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}}$ при ${\displaystyle n>2}$ в общем случае не определено.

Примеры

Примерами ассоциативных операций являются:

• сложение действительных чисел:

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

• умножение действительных чисел:

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

• композиция функций:

${\displaystyle (H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)}$

Примером неассоциативной операции является возведение в степень. Результат выражения ${\displaystyle a^{b^{c}}}$ зависит от расстановки скобок: в общем случае ${\displaystyle a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}}$ .

По определению группы и поля умножение в группе, сложение и умножение в поле являются ассоциативными операциями. Множество (непустое) с введённой на нём внутренней ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой.

История

Термин «ассоциативность» ввёл Гамильтон в 1853 году .

См. также

• Коммутативная операция
• Дистрибутивность
• Степенная ассоциативность

Ссылки

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.