История
Бикомпактное пространство — понятие, введённое Александровым в усиление определённого Морисом Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие[1]. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными.
Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.
Примеры компактных множеств
- Замкнутые ограниченные множества в
.
- Конечные подмножества топологических пространств.
- Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство
вещественных функций на метрическом компактном пространстве
с нормой
. Тогда замыкание множества функций
в
компактно тогда и только тогда, когда
равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
- Пространство Стоуна булевых алгебр.
- Компактификация топологического пространства.
Связанные определения
- Подмножество топологического пространства T, являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
- Множество называется предкомпактным (или компактным относительно T), если его замыкание в T компактно[2].
- Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
- Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
- Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
- Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограничена.
- Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
- Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
- H-замкнутое пространство — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его пространстве[3][4].
Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства[5]. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».
«Компактный» и «квази-компактный»
Французское слово фр. compact является ложным другом переводчика: оно означает не «компактный», а «компактный и хаусдорфов». Компактные пространства, априори не являющиеся хаусдорфовыми, по-французски называются фр. quasi-compact. Такое словоупотребление было введено в трактатах Бурбаки. В других языках оно не является общепринятым, за исключением трудов по абстрактной алгебраической геометрии. Базовый объект абстрактной алгебраической геометрии, спектр кольца, всегда компактное пространство, но почти никогда не хаусдорфово; из-за влиятельности трудов Гротендика, опиравшегося на Бурбаки, в текстах по абстрактной алгебраической геометрии слово квази-компактный, вообще-то несообразное с традицией, иногда допускается[6][нет в источнике].
Свойства
- Свойства, равносильные компактности:
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение[7].
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
- Топологическое пространство
компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в
.
- Другие общие свойства:
- Свойства компактных метрических пространств:
- Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
- Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
- Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля[9].
- Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия
существует положительное число
такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше
, содержится в одном из множеств
. Такое число
называется числом Лебега.
Литература
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.
- О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
- Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — М.: МЦНМО. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
- Л. Шварц, Анализ, т. I, М., Мир, 1972.
- Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
- Архангельский А.В. Бикомпактное пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
- Войцеховский М. И. Компактное пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .