WikiSort.ru - Не сортированное

Гипервещественные числа или гипердействительные числа — расширение поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , которое содержит числа, большие, чем все представимые в виде конечной суммы

${\displaystyle 1+1+\cdots +1.}$

Термин англ. hyper-real number был введен американским математиком Эдвином Хьюиттом^[en] в 1948 году^[1].

Формальное определение

Система гипервещественных представляет собой строгий метод исчисления бесконечных и бесконечно малых величин. Множество гипервещественных чисел ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ представляет собой упорядоченное поле, расширение поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы ${\displaystyle 1+1+\cdots +1.}$ Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало.

Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического закона непрерывности^[en] Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об ${\displaystyle \mathbb {R} }$ справедливы и для ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ . Например, правило коммутативности сложения х + у = у + х, справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955).

Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления другие методы, в частности, метод исчерпывания. В 1960 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества, содержащего бесконечно малые и бесконечно большие величины в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века.

Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производной и интеграла напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, производная ${\displaystyle f(x)}$ становится ${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}$ для бесконечно малого ${\displaystyle \Delta x}$ , где ${\displaystyle st()}$ означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гипервещественных чисел

Положим, что ${\displaystyle X}$ является тихоновским пространством, которое также называется ${\displaystyle T_{3.5}}$ пространством, а ${\displaystyle C(X)}$  — алгебра непрерывных вещественных функций на ${\displaystyle X}$ . Пусть ${\displaystyle M}$ есть максимальный идеал в ${\displaystyle C(X)}$ . Тогда факторкольцо ${\displaystyle A=C(X)/M}$ , является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрена как линейно упорядоченное множество. Если ${\displaystyle F}$ строго содержит ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , то ${\displaystyle M}$ называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта,1948), а ${\displaystyle M}$  — гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля ${\displaystyle F}$ больше, чем у поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.

Важный частный случай — если пространство ${\displaystyle X}$ является дискретным пространством, в этом случае ${\displaystyle X}$ можно отождествить с мощностью множества κ и ${\displaystyle C(X)}$ с вещественной алгеброй ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\kappa }}$ функций κ от ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями^[en] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.

Примечания

Литература

Успенский В. А. (1987). Что такое нестандартный анализ? М.: Наукa, Главная редакция физико-математической литературы.