У этого термина существуют и другие значения, см.
Поле.
По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических.
Поле — основной предмет изучения теории полей. Рациональные, вещественные, комплексные числа, вычеты по модулю заданного простого числа образуют поля[⇨].
Формальные определения
Алгебра над множеством
, образующая коммутативную группу по сложению
над
с нейтральным элементом
и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами
, при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения.
Если раскрыть указанное выше определение, то множество
с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения
и умножения
(
, т. е.
) называется полем
, если выполнены следующие аксиомы:
- Коммутативность сложения:
.
- Ассоциативность сложения:
.
- Существование нулевого элемента:
.
- Существование противоположного элемента:
.
- Коммутативность умножения:
.
- Ассоциативность умножения:
.
- Существование единичного элемента:
.
- Существование обратного элемента для ненулевых элементов:
.
- Дистрибутивность умножения относительно сложения:
.
Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению
над
, аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению
над
, а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.
Аксиомы 1-7 и 9 — это определение коммутативного кольца с единицей.
Исключив аксиому коммутативности умножения, получим определение тела.
В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:
- Коммутативные кольца ⊃ Области целостности ⊃ Факториальные кольца ⊃ Области главных идеалов ⊃ Евклидовы кольца ⊃ Поля.
Связанные определения
Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.
Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение
, такое что
,
и
. В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как
, следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.
Характеристика поля — то же, что и характеристика кольца, наименьшее положительное целое число
такое, что сумма
копий единицы равна нулю:
-
Если такого числа не существует, то характеристика считается равной нулю. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.
Поля Галуа — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя Эвариста Галуа.
Свойства
- Характеристика поля всегда
или простое число.
- Поле характеристики
содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел
.
- Поле простой характеристики
содержит подполе, изоморфное полю вычетов
.
- Количество элементов в конечном поле всегда равно
— степени простого числа.
- При этом для любого числа вида
существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из
элементов, обычно обозначаемое
.
- В поле нет делителей нуля.
- Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля
изоморфна
.
- С точки зрения алгебраической геометрии, поля — это точки, потому что их спектр состоит ровно из одной точки — идеала {0}. Действительно, поле не содержит других собственных идеалов: если к идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно простом) идеале, а значит спектр этого кольца содержит как минимум две точки.
Примеры полей
Поля характеристики, равной 0
-
— рациональные числа,
-
— вещественные числа,
-
— комплексные числа,
-
— алгебраические числа над полем рациональных чисел (подполе в поле
).
- Числа вида
,
, относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров квадратичного поля, которое образует подполе в
.
-
— поле рациональных функций вида
, где
и
— многочлены над некоторым полем
(при этом
, а
и
не имеют общих делителей, кроме констант).
Литература
- Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы . — М.: Наука, 1965.
- Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
- P. Aluffi. Chapter VII // Algebra: Chapter 0. — American Mathematical Society, 2009 . — (Graduate Studies in Mathematics ). — ISBN 0-8218-4781-3.
- Galois, Évariste (1830). “Sur la théorie des nombres”. Bulletin des Sciences mathématiques. XIII: 428.
- Л. В. Кузьмин. Поле // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.