WikiSort.ru - Не сортированное

Понятие функции

Говорят, что на множестве ${\displaystyle X}$ имеется функция (отображение, операция, оператор) ${\displaystyle f}$ со значениями из множества ${\displaystyle Y}$ , если каждому элементу ${\displaystyle x}$ из множества ${\displaystyle X}$ по правилу ${\displaystyle f}$ поставлен в соответствие некоторый элемент ${\displaystyle y}$ из множества ${\displaystyle Y}$ ^[1].

Говорят также, что функция ${\displaystyle f}$ отображает множество ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle Y}$ . Функцию обозначают также записью ${\displaystyle y=f(x)}$ .

Если используется термин оператор, то говорят, что оператор ${\displaystyle f}$ действует из множества ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle Y}$ и добавляют запись ${\displaystyle y=fx}$ .

Если хотят подчеркнуть, что правило соответствия считается известным, то говорят, что на множестве ${\displaystyle X}$ задана функция ${\displaystyle f}$ , принимающая значения из ${\displaystyle Y}$ . Если функция ${\displaystyle f}$ должна находиться в результате решения какого-нибудь уравнения, то говорят, что ${\displaystyle f}$ — неизвестная или неявно заданная функция. Но в любом случае, функция, по смыслу этого понятия, считается заданной, хотя и косвенно.

Заметим, что в формулировке понятия функции требование соответствия "по правилу" является повтором, поскольку оно содержится в понятии однозначного соответствия. Формулировка понятия функции без понятия правило и необходимости его обозначать:

Говорят, что на множестве ${\displaystyle X}$ задана функция ${\displaystyle f}$ , принимающая значения из ${\displaystyle Y}$ , если каждому элементу ${\displaystyle x}$ из множества ${\displaystyle X}$ поставлен в соответствие некоторый элемент ${\displaystyle y}$ из множества ${\displaystyle Y}$ ^[4].

Например, функция, заданная на ${\displaystyle X}$ таблицей пар элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ , содержит и правило соответствия для каждого элемента из ${\displaystyle X}$ , поскольку значения функции при переходе от элемента к элементу множества ${\displaystyle X}$ располагаются по вполне определенному правилу.

Для числовых функций, часто задаваемых формулами, понятие функции формулируется как соответствие между элементами множеств посредством правила. Правило не обозначается, чтобы избежать совпадения обозначений правила и функции:

Если каждому элементу ${\displaystyle x}$ из множества ${\displaystyle X}$ по какому-либо правилу ставится в соответствие некоторый элемент ${\displaystyle y}$ из множества ${\displaystyle Y}$ , то указанное соответствие называется функцией ${\displaystyle y=f(x)}$ , заданной на множестве ${\displaystyle X}$ со значениями из ${\displaystyle Y}$ ^[3][5].

Буква ${\displaystyle f}$ в этом обозначении — индивидуальный знак функции.

Итак, функция ${\displaystyle y=f(x)}$ (или кратко: функция ${\displaystyle f(x)}$ или ${\displaystyle f}$ ) представляет собой тройку объектов: ${\displaystyle X,f,Y}$ , где

• множество ${\displaystyle X}$ называется о́бластью задания или областью определения функции;
• множество ${\displaystyle Y}$ называется о́бластью значе́ний функции;
• ${\displaystyle f}$ — правило, по которому каждому элементу ${\displaystyle x\in X}$ сопоставляется некоторый элемент ${\displaystyle y\in Y}$ . Для правила здесь использовано то же обозначение, что и для функции.

Обозначенный буквой ${\displaystyle x}$ каждый элемент множества ${\displaystyle X}$ называется независимой переменной или аргументом функции. Множество ${\displaystyle X}$ при этом называется областью изменения переменной ${\displaystyle x}$ .

Элемент ${\displaystyle y}$ , соответствующий фиксированному элементу ${\displaystyle x}$ называется частным значением функции в точке ${\displaystyle x}$ .

Совокупность всех частных значений ${\displaystyle y}$ , обозначаемая символом ${\displaystyle \{y\}}$ , называется множеством значений функции.

Теоретико-множественное определение

Понятие множества упорядоченных пар (отношения) позволяет исключить из формулировки понятия функции не только понятие правило, но и понятие соответствие, к которому сводится понятие функции в обычных формулировках предыдущего подраздела.

Таким образом, для функции можно сформулировать определение, использующее только начальные математические понятия:

Функцией ${\displaystyle f}$ называется множество упорядоченных пар ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ , таких, что пары существуют для всех элементов множества ${\displaystyle X}$ , и, если первые элементы пар совпадают, то совпадают и вторые их элементы^[1].

При этом:

• Множество ${\displaystyle X}$ называется областью задания или областью определения функции;
• множество ${\displaystyle Y}$ называется областью значений функции
• множество всех элементов ${\displaystyle y\in Y}$ , для которых существует пара ${\displaystyle (x,y)\in f}$ , ${\displaystyle x\in X}$ , называется множеством значений функции;
• множество упорядоченных пар ${\displaystyle f\subset X\times Y}$ называется также графиком функции; понятие графика функции и понятие функции при таком определении функции совпадают. При обычной формулировке понятия функции её графиком называется множество пар ${\displaystyle (x,f(x))}$ .

Функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ называются равными, если их графики совпадают^[6].

Поскольку равенство функций (в любой формулировке понятия функции) включает в себя не только совпадение правил соответствия между элементами множеств, но и совпадение областей задания, то функции ${\displaystyle f_{1}(x)=x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle f_{2}(x)=x:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }$ , где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — множество вещественных чисел, а ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ — множество положительных вещественных чисел, являются разными функциями.

Более общим, включающим в себя не только однозначные функции, является следующее определение функции:

Функцией ${\displaystyle f}$ называется любое множество упорядоченных пар ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ ^{[1][нет в источнике]}.

При этом:

• Множество ${\displaystyle X}$ называется областью отправления функции. Множество всех элементов ${\displaystyle x\in X}$ , для которых существует пара ${\displaystyle (x,y)\in f}$ , называется областью задания функции;

• множество ${\displaystyle Y}$ называется областью прибытия функции. Множество всех элементов ${\displaystyle y\in Y}$ , для которых существует пара ${\displaystyle (x,y)\in f}$ , называется множеством значений функции.

Функции нескольких аргументов

Понятие функции легко обобщается на случай функции многих аргументов.

Если множество ${\displaystyle X}$ представляет собой декартово произведение множеств ${\displaystyle X_{1},\;X_{2},\;\ldots ,\;X_{n}}$ , тогда отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ , где ${\displaystyle Y}$ — множество вещественных чисел, оказывается ${\displaystyle n}$ -местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора ${\displaystyle x=(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$ называются аргументами (данной ${\displaystyle n}$ -местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$ где ${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$ .

В этом случае запись ${\displaystyle y=f(x)}$ означает, что ${\displaystyle y=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$ .

Аналитический способ

Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например, формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства записью ${\displaystyle y=f(x),}$ где ${\displaystyle x}$ есть переменная, пробегающая область задания функции, а соответствующие значения переменной ${\displaystyle y}$ (или, что то же самое, значения выражения ${\displaystyle f(x)}$ ) принадлежат области значений функции. Например, равенство ${\displaystyle y=x^{2}}$ , где ${\displaystyle x}$ пробегает множество вещественных чисел, задает числовую функцию ${\displaystyle y=f(x).\;}$

Само по себе равенство ${\displaystyle y=f(x)}$ , без указания что это функция, заданная на некотором множестве, функцией не является.

Например, ${\displaystyle y=x^{2}}$ есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Аналогично, если ${\displaystyle f(x)}$ является другим обозначением переменной ${\displaystyle y}$ , то ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ также есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Если же в равенстве ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ слева стоит обозначение выражения, содержащего переменную ${\displaystyle x}$ , то имеется равенство двух выражений, содержащих одну переменную.

Однако высказывание функция ${\displaystyle y=x^{2}\;}$ (или функция ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ) на множестве задания обозначает соответствие элементов двух множеств. Более того, часто функцию ${\displaystyle x\mapsto f(x)}$ (или ${\displaystyle y=f(x)\;}$ ) для краткости обозначают как функцию ${\displaystyle f(x)}$ на множестве задания. Это соглашение является удобным и оправданным.

Графический способ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть ${\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;}$ — вещественная функция n переменных. Тогда её графиком является множество точек в ${\displaystyle n+1}$ -мерном пространстве:${\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\}}$ . Это множество точек, часто является поверхностью. В частности при ${\displaystyle n=1}$ , график функции может в некоторых случаях может быть изображён кривой в двумерном пространстве.

Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление не применимо. Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

Сужение и продолжение функции

Пусть дано отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle M\subset X}$ .

Отображение ${\displaystyle g\colon M\to Y}$ , которое принимает на ${\displaystyle M}$ те же значения, что и функция ${\displaystyle f}$ , называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции ${\displaystyle f}$ на множество ${\displaystyle M}$ .

Сужение функции ${\displaystyle f}$ на множество ${\displaystyle M}$ обозначается как ${\displaystyle f{\big |}_{M}}$ .

Если функция ${\displaystyle g\colon M\to Y}$ такова, что она является сужением для некоторой функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ , то функция ${\displaystyle f}$ , в свою очередь, называется продолжением функции ${\displaystyle g}$ на множество ${\displaystyle X}$ .

Образ и прообраз (при отображении)

Элемент ${\displaystyle y=f(x)}$ , который сопоставлен элементу ${\displaystyle x}$ , называется образом элемента (точки) ${\displaystyle x}$ (при отображении ${\displaystyle f}$ ).

Если взять целиком подмножество ${\displaystyle A}$ области задания функции ${\displaystyle f}$ , то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества ${\displaystyle A}$ , а именно подмножество области значений (функции ${\displaystyle f}$ ) вида

${\displaystyle f(A):=\{f(x)\colon x\in A\}}$ ,

которое, называется образом множества ${\displaystyle A}$ при отображении ${\displaystyle f}$ . Это множество иногда обозначается как ${\displaystyle f[A]}$ или ${\displaystyle A^{f}}$ .

Наоборот, взяв некоторое подмножество ${\displaystyle B}$ в области значений функции ${\displaystyle f}$ , можно рассмотреть совокупность тех элементов области задания функции ${\displaystyle f}$ , чьи образы попадают в множество ${\displaystyle B}$ , а именно — множество вида

${\displaystyle f^{-1}(B):=\{x\colon f(x)\in B\}}$ ,

которое называется (полным) прообразом множества ${\displaystyle B}$ (при отображении ${\displaystyle f}$ ).

В том частном случае, когда множество ${\displaystyle B}$ состоит из одного элемента, скажем, ${\displaystyle B=\{y\}}$ , множество ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}}$ имеет более простое обозначение ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ .

Тождественное отображение

Отображения, у которых совпадают область задания и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями.

В частности, преобразование ${\displaystyle f\colon X\to X}$ , которое сопоставляет каждой точке ${\displaystyle x}$ множества ${\displaystyle X}$ её саму или, что то же самое,

${\displaystyle f(x)=x}$ для каждого ${\displaystyle x\in X}$ , называется тождественным.

Это отображение имеет специальное обозначение: ${\displaystyle id_{X}}$ или, проще, ${\displaystyle id}$ (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичность, тождественность»).

Другое обозначение тождественного преобразования — ${\displaystyle 1_{X}}$ . Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве ${\displaystyle X}$ . Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным.

Композиция отображений

Пусть ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ — два отображения, таких, что область значений первого отображения является подмножеством области задания второго отображения. Тогда для всякого ${\displaystyle x\in X}$ однозначно определяется элемент ${\displaystyle y\in Y}$ такой, что ${\displaystyle y=f(x)}$ , но для этого самого ${\displaystyle y}$ однозначно определяется элемент ${\displaystyle z\in Z}$ такой, что ${\displaystyle z=g(y)}$ . То есть, для всякого ${\displaystyle x\in X}$ однозначно определяется элемент ${\displaystyle z\in Z}$ такой, что ${\displaystyle z=g(f(x))}$ . Другими словами, задано отображение ${\displaystyle h}$ такое, что

${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$ для всякого ${\displaystyle x\in X}$ .

Это отображение называется композицией отображений ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ , оно обозначается выражением ${\displaystyle g\circ f}$ (именно в таком порядке!), которое читается ${\displaystyle g}$ после ${\displaystyle f}$ .

Обратное отображение

Если отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то существует отображение ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ , у которого

• область задания (множество ${\displaystyle Y}$ ) совпадает с областью значений отображения ${\displaystyle f}$ ;
• область значений (множество ${\displaystyle X}$ ) совпадает с областью задания отображения ${\displaystyle f}$ ;
• ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle y=f(x)}$ .

Отображение ${\displaystyle f^{-1}}$ называется обратным по отношению к отображению ${\displaystyle f}$ .

Отображение, у которого существует обратное, называется обратимым.

В терминах композиции отображений, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: ${\displaystyle f^{-1}\circ f=id_{X}}$ и ${\displaystyle f\circ f^{-1}=id_{Y}}$ .

Свойства образов и прообразов

Поведение функций

Частично определённые функции

Частично определённая функция ${\displaystyle f}$ из множества ${\displaystyle X}$ в множество ${\displaystyle Y}$ есть функция ${\displaystyle f\colon X'\to Y}$ с областью задания ${\displaystyle X'={\rm {Dom}}f\subset X}$ .

Некоторые авторы понимают под функцией частично определённую функцию. Это имеет свои преимущества, например, возможна запись ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ , где ${\displaystyle f(x)=1/x}$ в этом случае ${\displaystyle \mathop {\rm {Dom}} f=\mathbb {R} \backslash \{0\}}$ .

Многозначные функции

В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Несмотря на это, нередко можно услышать про так называемые многозначные функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {B} }$ , где ${\displaystyle \mathbb {B} }$ — семейство подмножеств множества ${\displaystyle Y}$ . Тогда ${\displaystyle f(x)}$ будет множеством для всякого ${\displaystyle x\in X}$ .

Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции^[7].