WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебраическое определение

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида ${\displaystyle (a,\;b)}$ , для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

${\displaystyle \ (a_{1},\;b_{1})+(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}+a_{2},\;b_{1}+b_{2})}$

${\displaystyle \ (a_{1},\;b_{1})*(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}$

Числа вида ${\displaystyle (a,\;0)}$ отождествляются при этом с вещественными числами, а число ${\displaystyle (0,\;1)}$ обозначается ${\displaystyle \varepsilon }$ , после чего определяющие тождества примут вид:

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0,\quad (a,\;b)=a+b\varepsilon }$

${\displaystyle (a_{1}+\varepsilon b_{1})+(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}+a_{2})+\varepsilon (b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+\varepsilon b_{1})(a_{2}+\varepsilon b_{2})=(a_{1}a_{2})+\varepsilon (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2})}$ кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом ${\displaystyle x^{2}}$ .

Линейное представление

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим ${\displaystyle \varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ . Тогда произвольное дуальное число примет вид

${\displaystyle a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$ .

Показательная форма

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x}$

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+{\frac {(\varepsilon x)^{2}}{2!}}+{\frac {(\varepsilon x)^{3}}{3!}}+\cdots }$

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

${\displaystyle \sinh \varepsilon x=\sin \varepsilon x=\varepsilon x}$

${\displaystyle \cosh \varepsilon x=\cos \varepsilon x=1}$