WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

арксинус (обозначение $:\mathrm {arcsin} \,x;\mathrm {arcsin} \,x$ — это угол, синус которого равен $x$ )
арккосинус (обозначение: $\mathrm {arccos} \,x;\mathrm {arccos} \,x$ — это угол, косинус которого равен $x$ и т. д.)
арктангенс (обозначение: $\mathrm {arctg} \,x$ ; в иностранной литературе $\mathrm {arctan} \,x$ )
арккотангенс (обозначение: $\mathrm {arcctg} \,x$ ; в иностранной литературе $\mathrm {arccot} \,x$ или $\mathrm {arccotan} \,x$ )
арксеканс (обозначение: $\mathrm {arcsec} \,x$ )
арккосеканс (обозначение: $\mathrm {arccosec} \,x$ ; в иностранной литературе $\mathrm {arccsc} \,x$ )

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика Карла Шерфера (нем. Karl Scherffer; 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin }}$ , но они не прижились^[1]. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin⁻¹, cos⁻¹ для арксинуса, арккосинуса и т. п.^[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, $\arcsin 1/2$ означает множество углов $\left({\frac {\pi }{6}},{\frac {5\pi }{6}},{\frac {13\pi }{6}},{\frac {17\pi }{6}}\dots ~(30^{\circ },150^{\circ },390^{\circ },510^{\circ }\dots )\right)$ , синус которых равен $1/2$ . Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ все решения уравнения $\sin x=\alpha$ можно представить в виде $x=(-1)^{n}\arcsin \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.$ ^[3]

Основное соотношение

\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}

\operatorname {arctg} \,x+\operatorname {arcctg} \,x={\frac {\pi }{2}}

Функция arcsin

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого $\sin y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},\quad |x|\leqslant 1.$

Функция $y=\arcsin x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

$\sin(\arcsin x)=x\qquad$ при $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arcsin(\sin y)=y\qquad$ при $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$
$D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad$ (область определения),
$E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad$ (область значений).

Свойства функции arcsin

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad$ (функция является нечётной).
$\arcsin x>0$ при $0<x\leqslant 1$ .
$\arcsin x=0$ при $x=0.$
$\arcsin x<0$ при $-1\leqslant x<0.$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$
$\arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$

Получение функции arcsin

Дана функция $y=\sin x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\arcsin x$ функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ . Так как для функции $y=\sin x$ на интервале $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ каждое значение функции достигается при единственном значении аргумента, то на этом отрезке существует обратная функция $y=\arcsin x,$ график которой симметричен графику функции $y=\sin x$ на отрезке $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ относительно прямой $y=x.$ (графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов координатной плоскости $Oxy$ )

Функция arccos

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого $\cos y=x,\qquad 0\leqslant y\leqslant \pi ,|x|\leqslant 1.$

Функция $y=\arccos x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

$\cos(\arccos x)=x$ при $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arccos(\cos y)=y$ при $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\arccos x)=[-1;1]$ (область определения),
$E(\arccos x)=[0;\pi ]$ (область значений).

Свойства функции arccos

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x.$ Функция центрально-симметрична относительно точки $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right),$ является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
$\arccos x>0$ при $-1\leqslant x<1.$
$\arccos x=0$ при $x=1.$
$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.$
$\arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}$
$\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}$
$\arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}$

Получение функции arccos

Дана функция $y=\cos x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\arccos x$ функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — $[0;\pi ].$ На этом отрезке $y=\cos x$ строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке $[0;\pi ]$ существует обратная функция $y=\arccos x,$ график которой симметричен графику $y=\cos x$ на отрезке $[0;\pi ]$ относительно прямой $y=x.$

Функция arctg

График функции $y=\operatorname {arctg} \,x$

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла $y,$ выраженное в радианах, для которого $\operatorname {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}.$

Функция $y=\operatorname {arctg} x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

$\operatorname {tg} \,(\operatorname {arctg} \,x)=x$ при $x\in \mathbb {R} ,$
$\operatorname {arctg} \,(\operatorname {tg} \,y)=y$ при $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$
$D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty ;\infty )$ (область определения),
$E(\operatorname {arctg} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)$ (область значений).

Свойства функции arctg

$\operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x\qquad$ (функция является нечётной).
$\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$
$\operatorname {arctg} x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$ , при x > 0.
$\operatorname {arctg} x=\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x}}.$
$\operatorname {arctg} x=-i\operatorname {arth} {ix}$ , где $\operatorname {arth}$ — гиперболический ареатангенс.
$\operatorname {arth} x=i\operatorname {arctg} {ix}.$

Получение функции arctg

Дана функция $y=\operatorname {tg} \,x.$ На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\operatorname {arctg} \,x$ функцией не является (так как нарушается требование однозначности). Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — $\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right).$ На этом отрезке $y=\operatorname {tg} \,x$ строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале $\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)$ существует обратная $y=\operatorname {arctg} \,x$ , график которой симметричен графику $y=\operatorname {tg} \,x$ на отрезке $\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)$ относительно прямой $y=x.$

Функция arcctg

График функции $y=\operatorname {arcctg} x$

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\operatorname {ctg} \,y=x,\quad 0<y<\pi .$

Функция $y=\operatorname {arcctg} \,x$ определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

$\operatorname {ctg} (\operatorname {arcctg} \,x)=x$ при $x\in \mathbb {R} ,$
$\operatorname {arcctg} (\operatorname {ctg} \,y)=y$ при $0<y<\pi ,$
$D(\operatorname {arcctg} x)=(-\infty ;\infty ),$
$E(\operatorname {arcctg} x)=(0;\pi ).$

Свойства функции arcctg

$\operatorname {arcctg} (-x)=\pi -\operatorname {arcctg} x.$ График функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
$\operatorname {arcctg} x>0$ при любых $x.$
$\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x<0\end{matrix}}\right.$
$\operatorname {arcctg} x=\pi /2-\operatorname {arctg} x.$

Получение функции arcctg

Дана функция $y=\operatorname {ctg} \,x$ . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие $y=\operatorname {arcctg} \,x$ функцией не является. Поэтому рассмотрим промежуток, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз — $(0;\pi )$ . На этом отрезке $y=\operatorname {ctg} \,x$ строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале $(0;\pi )$ существует обратная функция $y=\operatorname {arcctg} \,x$ , график которой симметричен графику $y=\operatorname {ctg} \,x$ на отрезке $(0;\pi )$ относительно прямой $y=x.$

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, $x\rightarrow -x$ ) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы $\operatorname {arcctg} x=\operatorname {arctg} (-x)+\pi /2.$

Функция arcsec

График функции $y=\operatorname {arcsec} x$

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\sec y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant \pi .$

Функция $y=\operatorname {arcsec} x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

$\sec(\operatorname {arcsec} x)=x$ при $|x|\geqslant 1,$
$\operatorname {arcsec}(\sec y)=y$ при $0\leqslant y\leqslant \pi .$
$D(\operatorname {arcsec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (область определения),
$E(\operatorname {arcsec} x)=[0;\pi ]$ (область значений).

Свойства функции arcsec

$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x.$ График функции центрально-симметричен относительно точки $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$ Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
$\operatorname {arcsec} x\geqslant 0$ при любых $x.$
$\operatorname {arcsec} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\geqslant 1\\\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{matrix}}\right.$
$\operatorname {arcsec} x=\pi /2-\operatorname {arccosec} x.$
$\operatorname {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x}}.$

Функция arccosec

График функции $y=\operatorname {arccosec} x$

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого $\operatorname {cosec} y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$

Функция $y=\operatorname {arccosec} x$ непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

$\operatorname {cosec} (\operatorname {arccosec} x)=x$ при $|x|\geqslant 1,$
$\operatorname {arccosec} (\operatorname {cosec} y)=y$ при $-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$
$D(\operatorname {arccosec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (область определения),
$E(\operatorname {arccosec} x)=[-\pi /2;\pi /2]$ (область значений).

Свойства функции arccosec

$\operatorname {arccosec} (-x)=-\operatorname {arccosec} x$ (функция является нечётной).
$\operatorname {arccosec} \,x=\operatorname {arctg} {\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{matrix}}\right.$
$\operatorname {arccosec} x=\pi /2-\operatorname {arcsec} x.$
$\operatorname {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x}}.$

Разложение в ряды

Производные от обратных тригонометрических функций

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

$(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$
$(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$
$(\operatorname {arctg} \,x)'={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.$
$(\operatorname {arcctg} \,x)'=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.$
$(\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}.$
$(\operatorname {arccosec} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}.$

Интегралы от обратных тригонометрических функций

Неопределённые интегралы

Для действительных и комплексных x:

{\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}

Для действительных x ≥ 1:

{\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины $a$ является противолежащим для угла $\alpha$ , то

$\alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatorname {arctg} (a/b)=\operatorname {arccosec} (c/a)=\operatorname {arcsec}(c/b)=\operatorname {arcctg} (b/a).$

Связь с натуральным логарифмом

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

{\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcctg} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arccosec} \,z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}

Примечания

↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ Здесь знак ⁻¹ определяет функцию x = f⁻¹ (y), обратную функции y = f (x)
↑ Энциклопедический словарь, 1985, с. 220.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — Т. 3. — с. 1135.
Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220–221. — 352 с.
Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

См. также

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4.

[2] Здесь знак ⁻¹ определяет функцию x = f⁻¹ (y), обратную функции y = f (x)

[_f14c7b0a3787fdb5-3] Энциклопедический словарь, 1985, с. 220.