Степень трансцендентности расширения поля в общей алгебре — это величина, которая даёт грубую оценку «масштаба» расширения. Другими словами, чем больше степень трансцендентности, тем больше расширенное поле содержит трансцендентных (то есть, неалгебраических по отношению к исходному полю) элементов.
Пусть — расширение поля до поля Рассмотрим всевозможные алгебраически независимые подмножества поля над полем Степень трансцендентности данного расширения определяется как наибольшая мощность среди таких подмножеств. Обозначение: или |
Если алгебраически независимых элементов в расширенном поле нет, то множество их пусто, и степень трансцендентности равна нулю. Таким образом, нулевая степень трансцендентности означает, что данное расширение является алгебраическим. Если же степень трансцендентности не нулевая, то в существуют «трансцендентные» (не алгебраические по отношению к исходному полю) элементы.
Подмножество из называется базисом трансцендентности расширения если:
Можно показать, что для любого заданного расширения поля базисы трансцендентности существуют (в доказательстве используется аксиома выбора), причём все они имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности. Базисы трансцендентности — полезный инструмент для доказательства различных теорем существования про гомоморфизмы полей.
Расширение поля называется чисто трансцендентным, если в существует подмножество алгебраически независимых над элементов такое, что
Если мы имеет двукратное расширение поля: то степень трансцендентности равна (теоретико-множественной) сумме степеней трансцендентности и Базис трансцендентности получается объединением базисов трансцендентности для и
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .