WikiSort.ru - Не сортированное

В декартовых координатах

Для того чтобы функция ${\displaystyle w=f(z)}$ , определённая в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости, была дифференцируема в точке ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$ как функция комплексного переменного ${\displaystyle z}$ , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ были дифференцируемы в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ как функции вещественных переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

Компактная запись:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}$

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная ${\displaystyle f'(z)}$ представима в любой из следующих форм:

${\displaystyle f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$

1. Необходимость

По условию теоремы существует предел

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim \limits _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}}$ ,

не зависящий от способа стремления ${\displaystyle \Delta z}$ к нулю. Положим ${\displaystyle \Delta z=\Delta x}$ и рассмотрим выражение

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {u(x_{0}+\Delta x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}+i\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {v(x_{0}+\Delta x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}}$ .

Из существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей. Поэтому в точке ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$ существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула

${\displaystyle f'(z_{0})=u_{x}(x_{0},y_{0})+iv_{x}(x_{0},y_{0})}$

Полагая ${\displaystyle \Delta z=i\Delta y}$ , находим

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim \limits _{\Delta y\to 0}{\frac {u(x_{0},y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}+i\lim \limits _{\Delta y\to 0}{\frac {v(x_{0},y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}=-iu_{y}(x_{0},y_{0})+v_{y}(x_{0},y_{0})}$ .

Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана.

2. Достаточность

По определению дифференцируемости, приращения функций ${\displaystyle u(x,y)}$ и ${\displaystyle v(x,y)}$ в окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ могут быть записаны в виде

${\displaystyle u(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-u(x_{0},y_{0})=u_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+u_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y+\xi (x,y)}$ ,

${\displaystyle v(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-v(x_{0},y_{0})=v_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+v_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y+\eta (x,y)}$ ,

где функции ${\displaystyle \xi (x,y)}$ и ${\displaystyle \eta (x,y)}$ стремятся к нулю при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$ , ${\displaystyle y\rightarrow y_{0}}$ быстрее, чем ${\displaystyle \Delta x}$ и ${\displaystyle \Delta y\qquad }$ ${\displaystyle \left(\lim \limits _{|\Delta z|\to 0}{\frac {\xi (x,y)}{|\Delta z|}}=0\right.}$ , ${\displaystyle \lim \limits _{|\Delta z|\to 0}{\frac {\eta (x,y)}{|\Delta z|}}=0}$ , ${\displaystyle \left.|\Delta z|={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\right)}$ . Составим теперь разностное соотношение ${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}}$ , где ${\displaystyle \Delta z=\Delta x+i\Delta y}$ и преобразуем его к виду

${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=u_{x}(x_{0},y_{0}){\frac {\Delta x+i\Delta y}{\Delta x+i\Delta y}}+v_{x}(x_{0},y_{0}){\frac {i\Delta x-\Delta y}{\Delta x+i\Delta y}}+{\frac {\xi (x,y)+i\eta (x,y)}{\Delta x+i\Delta y}}=u_{x}(x_{0},y_{0})+iv_{x}(x_{0},y_{0})+{\frac {\zeta (z)}{\Delta z}}}$

${\displaystyle (\zeta (z)=\xi (x,y)+i\eta (x,y))}$ .

Заметим, что при стремлении ${\displaystyle \Delta z}$ к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел ${\displaystyle \lim \limits _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})}$ , что и доказывает дифференцируемость функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$ .

В полярных координатах

В полярной системе координат ${\displaystyle (r,\varphi )}$ условия Коши-Римана выглядят так:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \varphi }};\quad {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.}$

Компактная запись:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {i}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}=0.}$

Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции

Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:

${\displaystyle f(z)=R(x,y)e^{i\Phi (x,y)}}$

Тогда условия Коши-Римана связывают модуль ${\displaystyle R}$ и аргумент ${\displaystyle \Phi }$ функции следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}=R{\frac {\partial \Phi }{\partial y}};\quad {\frac {\partial R}{\partial y}}=-R{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}}$

Если функция действует из полярной системы в полярную:

${\displaystyle f(z)=R(r,\varphi )e^{i\Phi (r,\varphi )}}$

Запись приобретает вид:

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial r}}={\frac {R}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }};\quad R{\frac {\partial \Phi }{\partial r}}=-{\frac {\partial R}{r\partial \varphi }}}$