WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебраически замкнутое поле — поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$ , в котором всякий многочлен ненулевой степени над ${\displaystyle \mathbb {K} }$ имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.

Свойства

• В алгебраически замкнутом поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$ каждый многочлен степени n имеет ровно n (с учётом кратности) корней в ${\displaystyle \mathbb {K} }$ . Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ имеет степень 1. См. также теорема Безу.
• Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля. Если к нему прибавить 1, то полученный многочлен не будет иметь корней.
• Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
• Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
• Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

См. также

• Теория Галуа
• Замыкание (алгебра)

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 7 июля 2014 года.