WikiSort.ru - Не сортированное

Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр^[1]. Эти операции подчинены восьми аксиомам.^[⇨] Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом следует отметить, что вектор, как элемент векторного пространства, не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы^[2].

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность.^[⇨] Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств (англ.), где в качестве векторов выступают функции. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет определить понятия близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.

Определение

Линейное, или векторное пространство ${\displaystyle V\left(F\right)}$ над полем ${\displaystyle F}$  — это упорядоченная четвёрка ${\displaystyle (V,F,+,\cdot )}$ , где

• ${\displaystyle V}$  — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;
• ${\displaystyle F}$  — поле, элементы которого называются скалярами;
• Определена операция сложения векторов ${\displaystyle V+V\to V}$ , сопоставляющая каждой паре элементов ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$ множества ${\displaystyle V}$ единственный элемент множества ${\displaystyle V}$ , называемый их суммой и обозначаемый ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$ ;
• Определена операция умножения векторов на скаляры ${\displaystyle F\cdot V\to V}$ , сопоставляющая каждому элементу ${\displaystyle \lambda }$ поля ${\displaystyle F}$ и каждому элементу ${\displaystyle \mathbf {x} }$ множества ${\displaystyle V}$ единственный элемент множества ${\displaystyle V}$ , обозначаемый ${\displaystyle \lambda \cdot \mathbf {x} }$ или ${\displaystyle \lambda \mathbf {x} }$ ;

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x} }$ , для любых ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$ (коммутативность сложения);
2. ${\displaystyle \mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z} }$ , для любых ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V}$ (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент ${\displaystyle \mathbf {0} \in V}$ , что ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x} }$ для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ (существование нейтрального элемента относительно сложения), называемый нулевым вектором или просто нулём пространства ${\displaystyle V}$ ;
4. для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ существует такой элемент ${\displaystyle -\mathbf {x} \in V}$ , что ${\displaystyle \mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ , называемый вектором, противоположным вектору ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ;
5. ${\displaystyle \alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x} }$ (ассоциативность умножения на скаляр);
6. ${\displaystyle 1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} }$ (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
7. ${\displaystyle (\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x} }$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);
8. ${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y} }$ (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве ${\displaystyle V}$ структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел).

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент ${\displaystyle \mathbf {0} \in V}$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
3. ${\displaystyle 0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0} }$ для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ .
4. Для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ противоположный элемент ${\displaystyle -\mathbf {x} \in V}$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. ${\displaystyle 1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} }$ для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ .
6. ${\displaystyle (-\alpha )\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x} )=-(\alpha \mathbf {x} )}$ для любых ${\displaystyle \alpha \in F}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ .
7. ${\displaystyle \alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$ для любого ${\displaystyle \alpha \in F}$ .

Связанные определения и свойства

Примеры

• Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
• Пространство всех функций ${\displaystyle X\to F}$ с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности ${\displaystyle X}$ .
• Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
• Любое поле является одномерным пространством над собой.
• Пространства матриц и тензоров образуют линейное пространство.

Дополнительные структуры

• Нормированное векторное пространство
• Метрическое векторное пространство
• Топологическое векторное пространство
• Евклидово пространство
• Пространство Минковского
• Гильбертово пространство

См. также

• Аффинное пространство
• Выпуклый функционал
• Конечномерное пространство
• Линейная независимость
• Линейное отображение
• Модуль над кольцом
• Прямая сумма
• Сопряжённое пространство
• Флаг

Примечания

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Гельфанд И. М.  Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — ISBN 5-7913-0016-6.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. — 3-е. — М.: Наука., 2004. — 368 с. — (Университетский учебник).
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.

• Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
• Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г.  Линейная алгебра. 6-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.
• Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М.–Л.: ОНТИ, 1934. — 210 с.