WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебраи́ческое число́ над полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$  — элемент алгебраического замыкания поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$ , то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из ${\displaystyle \mathbb {F} }$ .

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {Q} }$ , в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {A} }$ . Данная статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам». Поле ${\displaystyle \mathbb {A} }$ является подполем поля комплексных чисел.

Связанные определения

• Вещественное число или Комплексное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
• Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.
• Если ${\displaystyle \alpha }$  — алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих ${\displaystyle \alpha }$ своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице. Такой многочлен называется минимальным, или каноническим многочленом алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ (иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами).
  • Минимальный многочлен всегда является неприводимым.
  • Степень канонического многочлена ${\displaystyle \alpha }$ называется степенью алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ .
  • Другие корни канонического многочлена ${\displaystyle \alpha }$ называются сопряжёнными с ${\displaystyle \alpha }$ .
  • Высотой алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, имеющем ${\displaystyle \alpha }$ своим корнем.

Примеры

• Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами первой степени.
• Мнимая единица ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ являются алгебраическими числами второй степени. Сопряжёнными к ним являются соответственно ${\displaystyle -i}$ и ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ .
• Для любого натурального числа ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{3}}}$ является алгебраическим числом степени ${\displaystyle n}$ .

Свойства

• Множество алгебраических чисел счётно, а следовательно, его мера равна нулю.
• Множество алгебраических чисел плотно на комплексной плоскости.
• Сумма, разность, произведение и частное^[1] двух алгебраических чисел — алгебраические числа, то есть множество всех алгебраических чисел образует поле.
• Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число, то есть поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто.
• Для всякого алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ существует такое натуральное ${\displaystyle N}$ , что ${\displaystyle N\alpha }$  — целое алгебраическое число.
• Алгебраическое число ${\displaystyle \alpha }$ степени ${\displaystyle n}$ имеет ${\displaystyle n}$ различных сопряжённых чисел (включая себя).
• ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ сопряжены тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля ${\displaystyle \mathbb {A} }$ , переводящий ${\displaystyle \alpha }$ в ${\displaystyle \beta }$ .
• Любое алгебраическое число вычислимо, а следовательно, арифметично.
• Порядок на множестве действительных алгебраических чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.^{[прояснить]}

Числа, записанные при помощи радикалов

Любое число, которое можно получить из целых чисел при помощи четырёх действий арифметики (сложения, вычитания, умножения, деления), а также извлечением корня целой степени, является алгебраическим. Так, например, алгебраическим будет число ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1998}{{\sqrt[{19}]{98}}-{\sqrt[{198}]{8}}}}}}$ , а также числа вида ${\displaystyle Q_{1}^{Q_{2}}+Q_{3}^{Q_{4}}+...+Q_{n}^{Q_{n+1}}}$ , где ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}\dots Q_{n+1}}$ — рациональные числа.

Однако не все алгебраические числа можно записать при помощи радикалов. Так, например, согласно теореме Абеля — Руффини существуют многочлены пятой степени с целыми коэффициентами, которые не разрешимы в радикалах. Корни такого многочлена являются алгебраическими числами, которые невозможно построить из целых четырьмя арифметическими действиями и извлечением корней^[2].

История

Название алгебраические и трансцендентные числа предложил Эйлер в 1775 году. В то время ещё не было известно ни одного трансцендентного числа^[2]. Алгебраические поля, отличные от рационального, стал рассматривать Гаусс. При обосновании теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел, то есть чисел вида ${\displaystyle a+bi}$ , где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$  — целые числа. Продолжение исследований Гаусса привело во второй половине XIX века к построению общей теории алгебраических чисел^[3]. Далее, изучая теорию кубических вычетов, Якоби и Эйзенштейн создали арифметику чисел вида ${\displaystyle a+b\rho }$ , где ${\displaystyle \rho =(-1+i{\sqrt {3}})/2}$  — кубический корень из единицы, а ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$  — целые числа. В 1844 году Лиувилль доказал теорему о невозможности слишком хорошего приближения корней многочленов с рациональными коэффициентами рациональными дробями, и, как следствие, ввёл формальные понятия алгебраических и трансцендентных (то есть всех прочих вещественных) чисел. Попытки доказать великую теорему Ферма привели Куммера к изучению полей деления круга, введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах Дирихле, Кронекера, Гильберта и других теория алгебраических чисел получила своё дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики Золотарев (теория идеалов), Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), Марков (кубическое поле), Сохоцкий (теория идеалов) и другие.

См. также

• Кольцо периодов

Примечания

Ссылки

• Фельдман, Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант, № 7, 1983.
• Нестеренко Ю. В. Лекции об алгебраических числах // Конспект курса лекций, читаемых на мехмате МГУ.