WikiSort.ru - Не сортированное

Коммутативная операция — бинарная операция «${\displaystyle \circ }$ », обладающая свойством коммутативности (позднелат. commutativus — «меняющийся»), то есть свойством переместительности:

${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$ для любых элементов ${\displaystyle x,\;y}$ .

В частности, если групповая операция является коммутативной, то группа называется абелевой. Если операция умножения в кольце является коммутативной, то кольцо называется коммутативным.

История

Термин «коммутативность» ввёл в 1814 году французский математик Франсуа Жозеф Сервуа^[fr].

Примеры

• Сумма и произведение действительных чисел коммутативны:

${\displaystyle a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R} .}$

• Конъюнкция и дизъюнкция коммутативны:

${\displaystyle a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a.}$

• объединение, пересечение и симметрическая разность множеств коммутативны:

${\displaystyle A\cup B=B\cup A;\quad A\cap B=B\cap A;\quad A\bigtriangleup B=B\bigtriangleup A.}$

• Возведение в степень действительных чисел некоммутативно (${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$ ):

${\displaystyle 2^{4}=4^{2}=16}$ , но ${\displaystyle 2^{5}=32\neq 5^{2}=25}$ .

• Умножение матриц в общем случае некоммутативно:

${\displaystyle {\tbinom {5\ 4}{8\ 0}}{\tbinom {2\ 9}{6\ 1}}={\tbinom {34\ 49}{16\ 72}}}$ , но ${\displaystyle {\tbinom {2\ 9}{6\ 1}}{\tbinom {5\ 4}{8\ 0}}={\tbinom {82\ \,8\,}{38\ 24}}}$

См. также

• Антикоммутативность
• Ассоциативная операция
• Дистрибутивность
• Аддитивность
• Идемпотентность

Ссылки

• Коммутативность — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Commutativity" // Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4  (англ.)