WikiSort.ru - Не сортированное

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {O} }$ , поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

История

Впервые рассмотрена в 1843 Джоном Грейвсом^[en], приятелем^[1] Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже независимо Артуром Кэли.

Конструкция

Число Кэли — это линейная комбинация элементов ${\displaystyle \{1,i,j,k,l,il,jl,kl\}}$ . Каждая октава x может быть записана в форме

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl.}$

с вещественными коэффициентами ${\displaystyle x_{i}}$ . Октонионы находят применение в физике: например, в СТО и теории струн^[2]. Таблица умножения элементов октавы:

Таблица (Кэли) умножения октонионов^[3]

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Свойства

• По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
• Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Сопряжение и норма

Пусть дан октонион

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

Операция сопряжения октониона ${\displaystyle x}$ определена равенством

${\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}$

Операция сопряжения удовлетворяет равенствам

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

${\displaystyle x^{*}=-{\frac {1}{6}}(x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl))}$

Вещественная часть октониона ${\displaystyle x}$ определена равенством

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x+x^{*})=x_{0}}$

и мнимая часть октониона ${\displaystyle x}$ определена равенством

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x-x^{*})}$

Норма октониона ${\displaystyle x}$ определена равенством

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$ .

Легко убедиться, что норма — неотрицательное вещественное число

${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}.}$

Следовательно, ${\displaystyle \|x\|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0}$ .

Из определения нормы следует, что октонион ${\displaystyle x\neq 0}$ обратим и

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}.}$

См. также

• Плоскость Кэли

Ссылки

• Джон С. Баэс «Октонионы», см. «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» № 1(5), Vol 3(2006) с.120-176.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.