WikiSort.ru - Не сортированное

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.

Определение

Рациональной функцией называется функция вида

${\displaystyle {\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}}}$

где  ${\displaystyle P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ,  ${\displaystyle Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}$  — многочлены от любого числа переменных.

Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель ${\displaystyle Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}$ обращается в ноль.

Частным случаем являются рациональные функции одной переменной:

${\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$ , где ${\displaystyle P(x)}$ и ${\displaystyle Q(x)}$  — многочлены.

Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Свойства

• Любое выражение, которое можно получить из переменных ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
• Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции.
• Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (см. Метод неопределённых коэффициентов), это применяется при аналитическом интегрировании.

Правильные дроби

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

${\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}=P'_{n-m}(x)+{\frac {P_{m-1}^{''}(x)}{Q_{m}(x)}}}$

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ${\displaystyle (x-a)^{k}}$ (${\displaystyle a}$  — вещественный корень ${\displaystyle Q(x)}$ ) либо ${\displaystyle (x^{2}+px+q)^{k}}$ (где ${\displaystyle x^{2}+px+q}$ не имеет действительных корней), причём степени ${\displaystyle k}$ не больше кратности соответствующих корней в многочлене ${\displaystyle Q(x)}$ . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским^[1].

См. также

• Целая рациональная функция
• Рациональное число
• Наипростейшая дробь
• Египетские дроби
• Список интегралов от рациональных функций

Примечания

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.