WikiSort.ru - Не сортированное

Поворо́т (враще́ние) — движение, при котором по крайней мере одна точка плоскости (пространства) остаётся неподвижной.

Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства). Часто под термином вращение понимают собственное вращение.

Для двумерной плоскости можно дать другое, эквивалентное, определение вращения: вращение плоскости это движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.

Связанные определения

Неподвижная точка называется центром вращения, неподвижная прямая называется осью вращения и т. д.

Несобственное вращение

Несобственное вращение (т.е. вращение, которое не сохраняет ориентацию) нельзя сделать малым (в смысле расстояния между каждой точкой и её образом), собственное — можно сделать сколь угодно малым для любой ограниченной области пространства (то есть можно подобрать для ограниченной области сколь угодно малое собственное вращение). Несобственное вращение является композицией некоторого зеркального отражения (на плоскости — осевой симметрии, в пространстве нечётной размерности — центральной) и собственного вращения.

Поворот в двумерном пространстве

В аналитической геометрии на плоскости собственное вращение в прямоугольных декартовых координатах выражается формулами:

x'=x\cos \varphi -y\sin \varphi ,

y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi ,

где $\varphi$ — угол поворота, а центр вращения выбран в начале координат.
При тех же условиях несобственное вращение плоскости выражается формулой

x'=x\cos \varphi +y\sin \varphi ,

y'=x\sin \varphi -y\cos \varphi .

В планиметрии поворот около точки [центра] $O$ на угол поворота $\alpha$ обозначается также $R_{O}^{\alpha }$ , где $\alpha \in (-\pi ;\pi ].$
Поворот на угол $\beta '=\alpha +2\pi \cdot n,$ где $n\in \mathbb {Z}$ и $\alpha \in (-\pi ;\pi ]$ отождествляется с поворотом $R_{O}^{\alpha }$ (угол поворота на полный угол $2\pi ~(360^{\circ })$ зачастую также называется оборотом).
Если углы поворотов $\alpha ,\beta$ и их сумма $\alpha +\beta$ заключены в пределах от $-\pi$ до $\pi ,$ то при последовательном выполнении (композиции) поворотов их углы складываются (см. также #Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид)):

R_{O}^{\beta }\circ R_{O}^{\alpha }=R_{O}^{\alpha +\beta },

причём композиция двух поворотов обладает свойством коммутативности:

R_{O}^{\beta }\circ R_{O}^{\alpha }=R_{O}^{\alpha }\circ R_{O}^{\beta }.

См. также Изометрия (математика)

Матричный вид

При использовании матричного подхода точку $(x,y)$ записывают в виде вектора, затем умножают на матрицу:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

.

$(x',y')$ координаты точки, полученные вращением точки $(x,y)$ .

Векторы ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ и ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}$ имеют одинаковую размерность.

Комплексный вид

Точку можно вращать с помощью комплексных чисел. Множество всех этих чисел геометрически представляет собой двумерную плоскость. Точка $(x,y)$ на плоскости представлена комплексным числом $z=x+iy$ .

Вращение точки на угол $\theta$ можно осуществить умножением $e^{i\theta }$ , используя формулу Эйлера

{\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=(x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta )\\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}

что дает такой же результат,

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид)

Пусть совершается вначале поворот вокруг точки $a$ на угол $\alpha$ , затем поворот вокруг точки $b$ на угол $\beta$ . И пусть точки $a$ и $b$ представлены в виде комплексных чисел вида $x+iy$ . Положительным считается поворот против часовой стрелки. Такая композиция поворотов эквивалентна повороту на угол $\gamma ~=\alpha +\beta$ вокруг точки $c$ , которая вычисляется по формуле $c=a+(b-a)e^{i{\alpha '}}{\frac {\sin \alpha '}{\sin \gamma '}}$ ,

где $\alpha '={\frac {\alpha }{2}}$ , а $\gamma '={\frac {\gamma }{2}}$

Если $\alpha +\beta =0$ , то композиция поворотов эквивалентна параллельному сдвигу плоскости на вектор $r=(b-a)(e^{i\alpha }-1)$

Свойства

Если репер привязан к центру вращения, то реализуется ортогональной матрицей.
- Вращения трехмерного евклидова пространства (с фиксированным центром) образуют группу O(3) (собственные — группу SO(3)).
- Вращения двумерного пространства (плоскости) образуют соответственно группы O(2) и SO(2) (изоморфную U(1)).

Примечания

См. также

Ортогональное преобразование
Ортогональная группа
Специальная ортогональная группа
Группа вращений
Матрица поворота
Вращательное движение — процесс непрерывного поворота в механике.
Угловая скорость

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии